Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. !
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e entender alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então dizemos que ela é condicionalmente convergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dada: . Podemos reescrever como , então a série fica .
Passo 4
Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries onde os termos têm fatorial ou exponenciais.
Passo 5
Aplicando o teste da razão, consideramos o limite:
Passo 6
Como , temos que , que é menor que 1. Segundo o teste da razão, se , a série converge absolutamente.