Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial simples:
. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais, e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 2
A separação de variáveis envolve reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. No nosso caso, a equação já está quase pronta para isso:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, separamos
e
, colocando-os de lados opostos da igualdade.
Passo 3
Agora, para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integração é o processo inverso da derivada e nos permite encontrar a função original
.
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Calculando as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualando as integrais:
Podemos simplificar removendo a constante de ambos os lados, já que elas se cancelam.
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
!
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.