Dada a seguinte força: . (Valor: 1,0 ponto)
(b) Encontre o trabalho realizado para mover um objeto neste campo do ponto até o ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de força dado por . A gente precisa encontrar o trabalho realizado para mover um objeto desse campo do ponto até o ponto .
Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que calcula o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico. Precisamos parametrizar o caminho e integrar o produto escalar da força com o deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória de até . Vamos escolher uma linha reta que conecta esses dois pontos. A parametrização fica assim:
Calculando:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é o vetor deslocamento:
Esse vetor representa a direção e a velocidade com que nos movemos ao longo do caminho.

Passo 4

Vamos expressar a força ao longo da trajetória parametrizada:
Substituindo , , e :

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Isso resulta em uma função de que precisamos integrar de a .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Primeiro, expanda cada termo:
Após expandir e simplificar cada parte, somamos todas elas para obter uma única expressão em termos de .

Passo 7

Depois de simplificar, a integral fica na forma:
ã
Integrando essa expressão em relação a de a , obtemos o valor do trabalho realizado.

Resposta

Após realizar a integração, o trabalho realizado para mover o objeto do ponto até o ponto neste campo de força é unidades de trabalho.

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e
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