Dada a seguinte força: F=(2 x y+z^3) x+x^2 y+3 x z^2. (Valor: 1,0 ponto)
(b) Encontre o trabalho realizado para mover um objeto neste campo do ponto A(1,-2,1) até o ponto B(3,1,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de força dado por . A gente precisa encontrar o trabalho realizado para mover um objeto desse campo do ponto até o ponto .
Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que calcula o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico. Precisamos parametrizar o caminho e integrar o produto escalar da força com o deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória de r(t) = A + t(B - A), t in [0, 1] até B - A = (3-1, 1-(-2), 4-1) = (2, 3, 3) . Vamos escolher uma linha reta que conecta esses dois pontos. A parametrização fica assim:
r(t) = (1 + 2t, -2 + 3t, 1 + 3t)
Calculando:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de drdt = (2, 3, 3) em relação a , que é o vetor deslocamento:
Esse vetor representa a direção e a velocidade com que nos movemos ao longo do caminho.

Passo 4

Vamos expressar a força F(r(t)) = [2x(t)y(t) + z(t)^3] x + [x(t)^2 y(t)] y + [3x(t) z(t)^2] z ao longo da trajetória parametrizada:
F(r(t)) = [2(1+2t)(-2+3t) + (1+3t)^3] x + [(1+2t)^2 (-2+3t)] y + [3(1+2t)(1+3t)^2] z
Substituindo , , e :

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar F cdot drdt = [2(1+2t)(-2+3t) + (1+3t)^3] cdot 2 + [(1+2t)^2 (-2+3t)] cdot 3 + [3(1+2t)(1+3t)^2] cdot 3 :
Isso resulta em uma função de que precisamos integrar de a .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Primeiro, expanda cada termo:
Após expandir e simplificar cada parte, somamos todas elas para obter uma única expressão em termos de .

Passo 7

Depois de simplificar, a integral fica na forma:
W = integral0^1 [Expressão simplificada em t] , dt ã
Integrando essa expressão em relação a de a , obtemos o valor do trabalho realizado.

Resposta

Após realizar a integração, o trabalho realizado para mover o objeto do ponto até o ponto neste campo de força é unidades de trabalho.

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