Dada a seguinte força:
. (Valor: 1,0 ponto)
(b) Encontre o trabalho realizado para mover um objeto neste campo do ponto
até o ponto
(b) Encontre o trabalho realizado para mover um objeto neste campo do ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de força dado por
. A gente precisa encontrar o trabalho realizado para mover um objeto desse campo do ponto
até o ponto
.
Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que calcula o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico. Precisamos parametrizar o caminho e integrar o produto escalar da força com o deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória de
até
. Vamos escolher uma linha reta que conecta esses dois pontos. A parametrização fica assim:
Calculando:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é o vetor deslocamento:
Esse vetor representa a direção e a velocidade com que nos movemos ao longo do caminho.
Passo 4
Vamos expressar a força
ao longo da trajetória parametrizada:
Substituindo
,
, e
:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Isso resulta em uma função de
que precisamos integrar de
a
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Primeiro, expanda cada termo:
Após expandir e simplificar cada parte, somamos todas elas para obter uma única expressão em termos de
.
Passo 7
Depois de simplificar, a integral fica na forma:
Integrando essa expressão em relação a
de
a
, obtemos o valor do trabalho realizado.
Resposta
Após realizar a integração, o trabalho realizado para mover o objeto do ponto
até o ponto
neste campo de força é
unidades de trabalho.