Utilizando a notação de Dirac e o fato de que
e
demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a notação de Dirac, que é muito utilizada na mecânica quântica para lidar com vetores e produtos internos, e alguns fatos sobre produtos internos para demonstrar uma desigualdade específica. Basicamente, vamos mostrar que o quadrado do módulo do produto interno entre dois vetores é menor ou igual ao produto dos produtos internos de cada vetor consigo mesmo. Para isso, vamos precisar entender bem como funciona o produto interno (ou produto escalar) e aplicar algumas propriedades básicas dessa operação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto interno
. Esse produto interno é sempre um número real e é maior ou igual a zero. Além disso, quando escrevemos
, estamos combinando dois vetores do espaço vetorial, onde
é um número complexo.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
usando a expressão dada para
:
Passo 4
Aplicando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Aqui,
é o conjugado complexo de
.
Passo 5
Como sabemos que
, isso nos dá uma desigualdade:
Passo 6
Agora, vamos escolher o valor de
de forma estratégica para simplificar a expressão. Vamos definir:
Essa escolha vai nos ajudar a eliminar alguns termos da desigualdade.
Passo 7
Substituindo
na desigualdade, temos:
Essa expressão resulta da substituição e simplificação dos termos.
Passo 8
Rearranjando a desigualdade, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
, que é positivo, mantemos a direção da desigualdade:
Resposta
Demonstramos que