Utilizando a notação de Dirac e o fato de que
e
demonstre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a notação de Dirac, que é muito utilizada na mecânica quântica para lidar com vetores e produtos internos, e alguns fatos sobre produtos internos para demonstrar uma desigualdade específica. Basicamente, vamos mostrar que o quadrado do módulo do produto interno entre dois vetores é menor ou igual ao produto dos produtos internos de cada vetor consigo mesmo. Para isso, vamos precisar entender bem como funciona o produto interno (ou produto escalar) e aplicar algumas propriedades básicas dessa operação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto interno . Esse produto interno é sempre um número real e é maior ou igual a zero. Além disso, quando escrevemos , estamos combinando dois vetores do espaço vetorial, onde é um número complexo.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno usando a expressão dada para :

Passo 4

Aplicando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Aqui, é o conjugado complexo de .

Passo 5

Como sabemos que , isso nos dá uma desigualdade:

Passo 6

Agora, vamos escolher o valor de de forma estratégica para simplificar a expressão. Vamos definir:
Essa escolha vai nos ajudar a eliminar alguns termos da desigualdade.

Passo 7

Substituindo na desigualdade, temos:
Essa expressão resulta da substituição e simplificação dos termos.

Passo 8

Rearranjando a desigualdade, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por , que é positivo, mantemos a direção da desigualdade:

Resposta

Demonstramos que

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