Utilizando a notação de Dirac e o fato de que
lang<=psi mid psirang<= real >= 0
e
|psirang<==|varphi1rang<=+lambda|varphi2rang<=
demonstre que
K varphi1|varphi2rang<=|^2 <=lang<=varphi1 mid varphi1rang<=lang<=varphi2 mid varphi2rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a notação de Dirac, que é muito utilizada na mecânica quântica para lidar com vetores e produtos internos, e alguns fatos sobre produtos internos para demonstrar uma desigualdade específica. Basicamente, vamos mostrar que o quadrado do módulo do produto interno entre dois vetores é menor ou igual ao produto dos produtos internos de cada vetor consigo mesmo. Para isso, vamos precisar entender bem como funciona o produto interno (ou produto escalar) e aplicar algumas propriedades básicas dessa operação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto interno lang<= psi | psi rang<=. Esse produto interno é sempre um número real e é maior ou igual a zero. Além disso, quando escrevemos |psirang<= = |varphi1rang<= + lambda |varphi2rang<=, estamos combinando dois vetores do espaço vetorial, onde lambda é um número complexo.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno lang<= psi | psi rang<= usando a expressão dada para |psirang<=:
lang<= psi | psi rang<= = lang<= varphi1 + lambda varphi2 | varphi1 + lambda varphi2 rang<=

Passo 4

Aplicando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
lang<= psi | psi rang<= = lang<= varphi1 | varphi1 rang<= + lambda lang<= varphi2 | varphi1 rang<= + lambda^* lang<= varphi1 | varphi2 rang<= + |lambda|^2 lang<= varphi2 | varphi2 rang<=
Aqui, lambda^* é o conjugado complexo de lambda.

Passo 5

Como sabemos que lang<= psi | psi rang<= >= 0, isso nos dá uma desigualdade:
lang<= varphi1 | varphi1 rang<= + lambda lang<= varphi2 | varphi1 rang<= + lambda^* lang<= varphi1 | varphi2 rang<= + |lambda|^2 lang<= varphi2 | varphi2 rang<= >= 0

Passo 6

Agora, vamos escolher o valor de lambda de forma estratégica para simplificar a expressão. Vamos definir:
lambda = -lang<= varphi1 | varphi2 rang<=lang<= varphi2 | varphi2 rang<=
Essa escolha vai nos ajudar a eliminar alguns termos da desigualdade.

Passo 7

Substituindo lambda na desigualdade, temos:
lang<= varphi1 | varphi1 rang<= - |lang<= varphi1 | varphi2 rang<=|^2lang<= varphi2 | varphi2 rang<= >= 0
Essa expressão resulta da substituição e simplificação dos termos.

Passo 8

Rearranjando a desigualdade, obtemos:
|lang<= varphi1 | varphi2 rang<=|^2lang<= varphi2 | varphi2 rang<= <= lang<= varphi1 | varphi1 rang<=
Multiplicando ambos os lados por lang<= varphi2 | varphi2 rang<=, que é positivo, mantemos a direção da desigualdade:
|lang<= varphi1 | varphi2 rang<=|^2 <= lang<= varphi1 | varphi1 rang<= lang<= varphi2 | varphi2 rang<=

Resposta

Demonstramos que
|lang<= varphi1 | varphi2 rang<=|^2 <= lang<= varphi1 | varphi1 rang<= lang<= varphi2 | varphi2 rang<=

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