Os primeiros minutos do lançamento do ônibus espacial podem ser descritos, muito genericamente, da seguinte forma: a massa inicial é m0=2 times 10^6 kg, a massa final (após 2 minutos) é de aproximadamente m=1 times 10^6 kg, a velocidade média de expulsão Vex é de cerca de 3000 m / s e a velocidade inicial, claramente, é zero. Se tudo isso estiver acontecendo no espaço, com gravidade desprezivel, qual será a velocidade do ônibus espacial ao final desse estágio? Qual é a propulsão durante o mesmo periodo e como ela se compara ao peso total inicial do ônibus (na Terra)? (Valor 1,0 portor)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ônibus espacial que perde massa ao longo de 2 minutos devido à expulsão de combustível. Precisamos descobrir:
  1. A velocidade que o ônibus espacial atinge ao final desses 2 minutos.
  2. A propulsão (ou seja, o empuxo) gerada nesse período.
  3. Como essa propulsão se compara ao peso total inicial do ônibus na Terra.
Para resolver isso, vamos usar a Equação do Momeno Linear e conceitos básicos de propulsão de foguetes. Vamos precisar entender como a mudança de massa afeta a velocidade e como calcular o empuxo com base na velocidade de expulsão dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade final do ônibus espacial utilizando a Equação de Tsiolkovsky, que é fundamental na dinâmica de foguetes. A equação é:
De
Onde:
  • De é a variação de velocidade.
  • ln(2 times 10^61 times 10^6) = ln(2) approx 0,693 é a velocidade média de expulsão dos gases.
  • De é a massa inicial do foguete.
  • é a massa final do foguete.
  • é o logaritmo natural.
Vamos substituir os valores fornecidos:
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a propulsão gerada, que é essencialmente o empuxo fornecido pelos gases expulsos. A fórmula para o empuxo F = dotm cdot Vex é:
dotm = De
Onde:
  • F = 8333,33 , kg/s cdot 3000 , m/s = 25 times 10^6 , N é a taxa de perda de massa (massa expulsa por segundo).
  • é a velocidade de expulsão dos gases.
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o empuxo:

Passo 4

Por último, vamos comparar a propulsão calculada com o peso total inicial do ônibus na Terra. O peso W = m0 cdot g é dado por:
W = 2 times 10^6 , kg cdot 9,81 , m/s^2 = 19,62 times 10^6 , N
Onde:
  • FW = 25 times 10^6 , N19,62 times 10^6 , N approx 1,275 é a massa inicial.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Calculando:
Agora, vamos comparar com :
Isso significa que a propulsão é aproximadamente 1,275 vezes maior que o peso do ônibus na Terra.

Resposta

Ao final dos 2 minutos, o ônibus espacial atinge uma velocidade de aproximadamente 2079 m/s. A propulsão gerada nesse período é de 25 × 10⁶ N, o que é cerca de 1,275 vezes o peso total inicial do ônibus na Terra.

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