Os primeiros minutos do lançamento do ônibus espacial podem ser descritos, muito genericamente, da seguinte forma: a massa inicial é
, a massa final (após 2 minutos) é de aproximadamente
, a velocidade média de expulsão
é de cerca de
e a velocidade inicial, claramente, é zero. Se tudo isso estiver acontecendo no espaço, com gravidade desprezivel, qual será a velocidade do ônibus espacial ao final desse estágio? Qual é a propulsão durante o mesmo periodo e como ela se compara ao peso total inicial do ônibus (na Terra)? (Valor 1,0 portor)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ônibus espacial que perde massa ao longo de 2 minutos devido à expulsão de combustível. Precisamos descobrir:
- A velocidade que o ônibus espacial atinge ao final desses 2 minutos.
- A propulsão (ou seja, o empuxo) gerada nesse período.
- Como essa propulsão se compara ao peso total inicial do ônibus na Terra.
Para resolver isso, vamos usar a Equação do Momeno Linear e conceitos básicos de propulsão de foguetes. Vamos precisar entender como a mudança de massa afeta a velocidade e como calcular o empuxo com base na velocidade de expulsão dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade final do ônibus espacial utilizando a Equação de Tsiolkovsky, que é fundamental na dinâmica de foguetes. A equação é:
Onde:
-
é a variação de velocidade. -
é a velocidade média de expulsão dos gases. -
é a massa inicial do foguete. -
é a massa final do foguete. -
é o logaritmo natural.
Vamos substituir os valores fornecidos:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a propulsão gerada, que é essencialmente o empuxo fornecido pelos gases expulsos. A fórmula para o empuxo
é:
Onde:
-
é a taxa de perda de massa (massa expulsa por segundo). -
é a velocidade de expulsão dos gases.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos o empuxo:
Passo 4
Por último, vamos comparar a propulsão calculada com o peso total inicial do ônibus na Terra. O peso
é dado por:
Onde:
-
é a massa inicial. -
é a aceleração da gravidade ( ).
Calculando:
Agora, vamos comparar
com
:
Isso significa que a propulsão é aproximadamente 1,275 vezes maior que o peso do ônibus na Terra.
Resposta
Ao final dos 2 minutos, o ônibus espacial atinge uma velocidade de aproximadamente 2079 m/s. A propulsão gerada nesse período é de 25 × 10⁶ N, o que é cerca de 1,275 vezes o peso total inicial do ônibus na Terra.