Dada a seguinte força: F=(2 x y+z^3) x+x^2 y+3 x z^2. (Valor: 1,0 ponto)
(a) Ache o potencial, caso exista, associado a ela;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o potencial associado à força dada, ou seja, encontrar uma função tal que . Isso está relacionado ao conteúdo de Campos Vetoriais e Energia Potencial. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar uma força a um potencial usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a força F = (2xy + z^3) x + x^2y y + 3xz^2 z nas componentes:
- partial Vpartial x = 2xy + z^3
Sabemos que - partial Vpartial y = x^2y , então:
- partial Vpartial z = 3xz^2

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em relação a - partial Vpartial x = 2xy + z^3 implies partial Vpartial x = -2xy - z^3 para encontrar V(x, y, z) = -integral (2xy + z^3) dx = -x^2y - x z^3 + g(y, z) :
Integrando em :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 4

Agora, usamos a segunda equação para encontrar - partial Vpartial y = x^2y :
partial Vpartial y = -x^2 - partial gpartial y
Calculando - (-x^2 - partial gpartial y) = x^2y implies x^2 + partial gpartial y = x^2y a partir da expressão de partial gpartial y = x^2(y - 1) :
g(y, z) = x^2(y^22 - y) + h(z)
Igualando:
Portanto:
Integrando em :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Finalmente, usamos a terceira equação para determinar - partial Vpartial z = 3xz^2 :
partial Vpartial z = -3x z^2 + dhdz
Calculando - (-3x z^2 + dhdz) = 3xz^2 implies 3x z^2 - dhdz = 3x z^2 :
dhdz = 0 implies h(z) = constante
Igualando:
Isso implica que:
Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.

Resposta

O potencial associado à força dada é:
V(x, y, z) = -x^2y - x z^3 + x^2(y^22 - y)
Simplificando:
V(x, y, z) = -x^2y - x z^3 + x^2 y^22 - x^2 y = x^2 y^22 - 2x^2 y - x z^3

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