Dada a seguinte matriz A, mostre que det(A)=0 sem calcular o determinante diretamente.
A=[rrrrr -4 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & -4 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -4 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & -4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & -4 ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 5 e precisamos mostrar que o determinante dessa matriz é igual a zero sem calcular o determinante diretamente. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e linhas de matriz.

Passo 2

Para mostrar que o determinante de é zero sem cálculo direto, podemos verificar se as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Se houver dependência linear entre as linhas, então o determinante será zero.

Passo 3

Vamos analisar as linhas da matriz A = -4 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & -4 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -4 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & -4 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & -4 :
Observamos que cada linha tem a mesma estrutura: um valor na diagonal principal e nas outras posições.

Passo 4

Vamos somar todas as linhas da matriz Soma das linhas = -4+1+1+1+1 1-4+1+1+1 1+1-4+1+1 1+1+1-4+1 1+1+1+1-4 = 0 0 0 0 0 :
A soma resulta em um vetor nulo.

Passo 5

Isso significa que a soma das linhas resulta em zero, indicando que existe uma combinação linear das linhas que resulta no vetor zero. Portanto, as linhas são linearmente dependentes.

Passo 6

De acordo com a teoria de determinantes, se as linhas (ou colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante dessa matriz é igual a zero.

Resposta

Portanto, .

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