Dada a seguinte matriz , mostre que sem calcular o determinante diretamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 5 e precisamos mostrar que o determinante dessa matriz é igual a zero sem calcular o determinante diretamente. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e linhas de matriz.
Passo 2
Para mostrar que o determinante de é zero sem cálculo direto, podemos verificar se as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Se houver dependência linear entre as linhas, então o determinante será zero.
Passo 3
Vamos analisar as linhas da matriz :
Observamos que cada linha tem a mesma estrutura: um valor na diagonal principal e nas outras posições.
Passo 4
Vamos somar todas as linhas da matriz :
A soma resulta em um vetor nulo.
Passo 5
Isso significa que a soma das linhas resulta em zero, indicando que existe uma combinação linear das linhas que resulta no vetor zero. Portanto, as linhas são linearmente dependentes.
Passo 6
De acordo com a teoria de determinantes, se as linhas (ou colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante dessa matriz é igual a zero.