Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
uma volta completa a partir do ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move em uma circunferência definida pela equação . A partícula começa no ponto e faz uma volta completa na direção anti-horária. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma circunferência e ajustar essa parametrização para começar no ponto especificado e seguir na direção certa.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da circunferência mais clara encontrando o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado para as variáveis e .
A equação original é:
Vamos completar o quadrado para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Agora vimos que o centro da circunferência é e o raio é (já que ).
Passo 3
Agora que sabemos o centro e o raio , podemos usar a fórmula paramétrica da circunferência:
Aqui, é o parâmetro que representa o ângulo em radianos.
Passo 4
Mas, precisamos ajustar essa parametrização para que a partícula comece no ponto . Vamos verificar se, para algum valor de , a equação paramétrica dá esse ponto.
Usando :
Não é o ponto que queremos. Queremos que e . Vamos achar o valor de que satisfaz isso.
e ocorre quando .
Passo 5
Então, para que a partícula comece no ponto , precisamos deslocar o parâmetro em . Isso significa substituir por na nossa parametrização original:
Passo 6
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Portanto:
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde varia de a para uma volta completa na direção anti-horária começando em .