Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2-2 x+y^2-4 y+1=0, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
uma volta completa a partir do ponto (1,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move em uma circunferência definida pela equação . A partícula começa no ponto e faz uma volta completa na direção anti-horária. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma circunferência e ajustar essa parametrização para começar no ponto especificado e seguir na direção certa.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da circunferência mais clara encontrando o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado para as variáveis x^2 - 2x + y^2 - 4y + 1 = 0 e x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 .
A equação original é:
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
Vamos completar o quadrado para (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 1 = 0 e (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0 :
Para (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Agora vimos que o centro da circunferência é e o raio é (já que ).

Passo 3

Agora que sabemos o centro x(t) = h + r cos(t) e o raio y(t) = k + r sin(t) , podemos usar a fórmula paramétrica da circunferência:
Aqui, é o parâmetro que representa o ângulo em radianos.

Passo 4

Mas, precisamos ajustar essa parametrização para que a partícula comece no ponto x(0) = 1 + 2 cos(0) = 1 + 2(1) = 3 . Vamos verificar se, para algum valor de y(0) = 2 + 2 sin(0) = 2 + 0 = 2 , a equação paramétrica dá esse ponto.
Usando 1 = 1 + 2 cos(t) Rightarrow cos(t) = 0 :
4 = 2 + 2 sin(t) Rightarrow sin(t) = 1
Não é o ponto que queremos. Queremos que e . Vamos achar o valor de que satisfaz isso.
e ocorre quando .

Passo 5

Então, para que a partícula comece no ponto x(t) = 1 + 2 cos(t - pi2) , precisamos deslocar o parâmetro y(t) = 2 + 2 sin(t - pi2) em . Isso significa substituir por na nossa parametrização original:

Passo 6

Simplificando usando identidades trigonométricas:
cos(t - pi2) = sin(t)
sin(t - pi2) = -cos(t)
Portanto:
x(t) = 1 + 2 sin(t)
y(t) = 2 - 2 cos(t)

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
x(t) = 1 + 2,sin(t)
y(t) = 2 - 2,cos(t)
onde varia de a para uma volta completa na direção anti-horária começando em .

Exercícios relacionados