Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
uma volta completa a partir do ponto
.
uma volta completa a partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move em uma circunferência definida pela equação
. A partícula começa no ponto
e faz uma volta completa na direção anti-horária. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma circunferência e ajustar essa parametrização para começar no ponto especificado e seguir na direção certa.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da circunferência mais clara encontrando o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado para as variáveis
e
.
A equação original é:
Vamos completar o quadrado para
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Agora vimos que o centro da circunferência é
e o raio é
(já que
).
Passo 3
Agora que sabemos o centro
e o raio
, podemos usar a fórmula paramétrica da circunferência:
Aqui,
é o parâmetro que representa o ângulo em radianos.
Passo 4
Mas, precisamos ajustar essa parametrização para que a partícula comece no ponto
. Vamos verificar se, para algum valor de
, a equação paramétrica dá esse ponto.
Usando
:
Não é o ponto que queremos. Queremos que
e
. Vamos achar o valor de
que satisfaz isso.
Passo 5
Então, para que a partícula comece no ponto
, precisamos deslocar o parâmetro
em
. Isso significa substituir
por
na nossa parametrização original:
Passo 6
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Portanto:
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde
varia de
a
para uma volta completa na direção anti-horária começando em
.