Dada a seguinte série de potências determine os valores de x para os quais ela converge.
sumn=1^infty ln (n)(2-x)^n

Passo 1

Vamos lá! Você me deu uma série de potências e quer descobrir para quais valores de sumn=1^infty ln (n)(2-x)^n ela converge. A série é:

Vamos usar o Teste da Raiz para determinar a região de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de potências. É uma soma infinita onde cada termo tem a forma , sendo o centro da série. No nosso caso, e .

Passo 3

Para encontrar os valores de limn to infty raiz[n]|an (x - c)^n| < 1 que fazem a série convergir, usamos o Teste da Raiz, que é ideal para séries de potências. Esse teste nos diz que a série converge se:

Passo 4

Aplicando o teste à nossa série:
limn to infty raiz[n]|ln(n)(2 - x)^n| < 1
Podemos separar a raiz:
limn to infty raiz[n]ln(n) cdot raiz[n]|(2 - x)^n| < 1

Passo 5

Simplificando:
  1. 1 cdot |2 - x| < 1 tende a 1 quando |2 - x| < 1 cresce.
Então, a condição fica:

Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
|2 - x| < 1
Isso significa que -1 < 2 - x < 1 está entre e :

Passo 7

Resolvendo para :
  1. Da esquerda:
  2. Da direita:

Resposta

A série converge para todos os valores de no intervalo .

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