Dada a seguinte série de potências determine os valores de
para os quais ela converge.
Passo 1
Vamos lá! Você me deu uma série de potências e quer descobrir para quais valores de
ela converge. A série é:
Vamos usar o Teste da Raiz para determinar a região de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de potências. É uma soma infinita onde cada termo tem a forma
, sendo
o centro da série. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para encontrar os valores de
que fazem a série convergir, usamos o Teste da Raiz, que é ideal para séries de potências. Esse teste nos diz que a série converge se:
Passo 4
Aplicando o teste à nossa série:
Podemos separar a raiz:
Passo 5
Simplificando:
-
tende a 1 quando cresce. -
Então, a condição fica:
Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que
Passo 7
Resolvendo para
:
- Da esquerda:
- Da direita:
Resposta
A série converge para todos os valores de
no intervalo
.
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Uma caixa retangular tem área de superfície total de
. Expresse o volume da caixa como uma função das dimensões
e
da base da caixa.
Determine o intervalo de convergência da série de potências
Investigue o caráter das seguintes séries: