Determine três números positivos cuja soma seja 48 e que seu produto seja maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa encontrar três números positivos que somem 48 e que, ao mesmo tempo, o produto desses três números seja o maior possível. Esse tipo de problema envolve conceitos de otimização na matemática, onde a gente busca o melhor resultado possível dentro de certas condições. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como a Média Geométrica funciona.

Passo 2

Vamos começar definindo os três números. Vamos chamar eles de , e . Sabemos que:
E queremos maximizar o produto:

Passo 3

Para maximizar o produto com a soma fixa, a gente lembra da Desigualdade da Média Geométrica e Aritmética (AM-GM). A desigualdade diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. E a igualdade ocorre quando todos os números são iguais. Isso significa que, para maximizar , , e precisam ser iguais.

Passo 4

Então, se , podemos substituir na equação da soma:
Portanto, e .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto:

Resposta

Os três números são 16, 16 e 16, e o produto máximo possível é 4096.

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