Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto 1500 1250 1000 750 500
distância do alvo 35 25 15 10 7
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra de que alturas um paraquedista pulou e quão próximo ele chegou do alvo marcado no chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual seria a distância do alvo se ele saltasse de uma altura de 800 metros. Para isso, vamos usar um método de interpolação chamado Polinômios de Newton-Gregory. Esse método nos ajuda a encontrar valores intermediários entre os pontos que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Altura do salto 1500 1250 1000 750 500
Distância do alvo 35 25 15 10 7
Como queremos encontrar a distância para 800 metros, podemos observar que 800 está entre 1000 e 750 metros. Vamos usar esses pontos para construir nosso polinômio de Newton.

Passo 3

Vamos organizar uma tabela de diferenças divididas. Para isso, listamos as alturas em ordem crescente e suas respectivas distâncias:
(Altura) (Distância)
500 7
750 10
1000 15
1250 25
1500 35
Agora, calculamos as diferen��as divididas necessárias para construir o polinômio. As diferenças divididas são calculadas da seguinte forma:
  • Primeira diferença:
  • Segunda diferença: çç
  • E assim por diante.
Vamos calcular:
Primeira diferença:
  • Entre 500 e 750:
  • Entre 750 e 1000:
  • Entre 1000 e 1250:
  • Entre 1250 e 1500:
Segunda diferença:
  • Entre 500, 750, 1000:
  • Entre 750, 1000, 1250:
  • Entre 1000, 1250, 1500:
Terceira diferença:
  • Entre 500, 750, 1000, 1250:
  • Entre 750, 1000, 1250, 1500:
Quarta diferença:
  • Entre 500, 750, 1000, 1250, 1500:

Passo 4

Agora que temos as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a primeira diferença dividida,
  • é a segunda diferença dividida,
  • E assim por diante.
Usando nossos valores:

Passo 5

Agora, substituímos na equação para encontrar a distância correspondente:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A distância provável do alvo seria de aproximadamente 10,74 metros se o paraquedista saltasse de uma altura de 800 metros.

Exercícios relacionados

Seja a seguinte tabela referente à uma função :
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
a) Calcule por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
Dada a seguinte tabela, calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
0.5 0.57358 0.70711 0.76604 0.81915
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.
Dados os valores funcionais da função , calcule por meio de um spline interpolante cúbico.
1 1.5 2 2.5 3
1 0.5
A partir da tabela a seguir, referente à função , e usando polinômios de Newton:
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.