Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto (m) 1500 1250 1000 750 500
distância do alvo (m) 35 25 15 10 7
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra de que alturas um paraquedista pulou e quão próximo ele chegou do alvo marcado no chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual seria a distância do alvo se ele saltasse de uma altura de 800 metros. Para isso, vamos usar um método de interpolação chamado Polinômios de Newton-Gregory. Esse método nos ajuda a encontrar valores intermediários entre os pontos que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Altura do salto (m) 1500 1250 1000 750 500
Distância do alvo (m) 35 25 15 10 7
Como queremos encontrar a distância para 800 metros, podemos observar que 800 está entre 1000 e 750 metros. Vamos usar esses pontos para construir nosso polinômio de Newton.

Passo 3

Vamos organizar uma tabela de diferenças divididas. Para isso, listamos as alturas em ordem crescente e suas respectivas distâncias:
xi (Altura) f(xi) (Distância)
500 7
750 10
1000 15
1250 25
1500 35
Agora, calculamos as diferen��as divididas necessárias para construir o polinômio. As diferenças divididas são calculadas da seguinte forma:
  • Primeira diferença: f(x2) - f(x1)x2 - x1
  • Segunda diferença: Diferença da primeira diferençax3 - x1çç
  • E assim por diante.
Vamos calcular:
Primeira diferença:
  • Entre 500 e 750: 10 - 7750 - 500 = 3250 = 0,012
  • Entre 750 e 1000: 15 - 101000 - 750 = 5250 = 0,02
  • Entre 1000 e 1250: 25 - 151250 - 1000 = 10250 = 0,04
  • Entre 1250 e 1500: 35 - 251500 - 1250 = 10250 = 0,04
Segunda diferença:
  • Entre 500, 750, 1000: 0,02 - 0,0121000 - 500 = 0,008500 = 0,000016
  • Entre 750, 1000, 1250: 0,04 - 0,021250 - 750 = 0,02500 = 0,00004
  • Entre 1000, 1250, 1500: 0,04 - 0,041500 - 1000 = 0500 = 0
Terceira diferença:
  • Entre 500, 750, 1000, 1250: 0,00004 - 0,0000161250 - 500 = 0,000024750 = 0,000000032
  • Entre 750, 1000, 1250, 1500: 0 - 0,000041500 - 750 = -0,00004750 = -0,000000053
Quarta diferença:
  • Entre 500, 750, 1000, 1250, 1500: -0,000000053 - 0,0000000321500 - 500 = -0,0000000851000 = -0,000000000085

Passo 4

Agora que temos as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f(x0) + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + dots
Onde:
  • f[x0,x1] é a primeira diferença dividida,
  • f[x0,x1,x2] é a segunda diferença dividida,
  • E assim por diante.
Usando nossos valores:
P(x) = 7 + 0,012(x - 500) + 0,000016(x - 500)(x - 750) + 0,000000032(x - 500)(x - 750)(x - 1000)

Passo 5

Agora, substituímos x = 800 na equação para encontrar a distância correspondente:
P(800) = 7 + 0,012(800 - 500) + 0,000016(800 - 500)(800 - 750) + 0,000000032(800 - 500)(800 - 750)(800 - 1000)
Calculando cada termo:
  1. 0,012(300) = 3,6
  2. 0,000016(300)(50) = 0,000016 times 15000 = 0,24
  3. 0,000000032(300)(50)(-200) = 0,000000032 times (-3.000.000) = -0,096
Somando tudo:
7 + 3,6 + 0,24 - 0,096 = 10,744

Resposta

A distância provável do alvo seria de aproximadamente 10,74 metros se o paraquedista saltasse de uma altura de 800 metros.

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