Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto
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1500 | 1250 | 1000 | 750 | 500 |
---|---|---|---|---|---|
distância do alvo
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35 | 25 | 15 | 10 | 7 |
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra de que alturas um paraquedista pulou e quão próximo ele chegou do alvo marcado no chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual seria a distância do alvo se ele saltasse de uma altura de 800 metros. Para isso, vamos usar um método de interpolação chamado Polinômios de Newton-Gregory. Esse método nos ajuda a encontrar valores intermediários entre os pontos que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Altura do salto
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1500 | 1250 | 1000 | 750 | 500 |
---|---|---|---|---|---|
Distância do alvo
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35 | 25 | 15 | 10 | 7 |
Como queremos encontrar a distância para 800 metros, podemos observar que 800 está entre 1000 e 750 metros. Vamos usar esses pontos para construir nosso polinômio de Newton.
Passo 3
Vamos organizar uma tabela de diferenças divididas. Para isso, listamos as alturas em ordem crescente e suas respectivas distâncias:
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---|---|
500 | 7 |
750 | 10 |
1000 | 15 |
1250 | 25 |
1500 | 35 |
Agora, calculamos as diferen��as divididas necessárias para construir o polinômio. As diferenças divididas são calculadas da seguinte forma:
- Primeira diferença:
- Segunda diferença:
- E assim por diante.
Vamos calcular:
Primeira diferença:
- Entre 500 e 750:
- Entre 750 e 1000:
- Entre 1000 e 1250:
- Entre 1250 e 1500:
Segunda diferença:
- Entre 500, 750, 1000:
- Entre 750, 1000, 1250:
- Entre 1000, 1250, 1500:
Terceira diferença:
- Entre 500, 750, 1000, 1250:
- Entre 750, 1000, 1250, 1500:
Quarta diferença:
- Entre 500, 750, 1000, 1250, 1500:
Passo 4
Agora que temos as diferenças divididas, podemos construir o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a primeira diferença dividida, -
é a segunda diferença dividida, - E assim por diante.
Usando nossos valores:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação para encontrar a distância correspondente:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A distância provável do alvo seria de aproximadamente 10,74 metros se o paraquedista saltasse de uma altura de 800 metros.
Exercícios relacionados
Seja a seguinte tabela referente à uma função
:
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-0.4 | -0.2 | 0 | 0.2 | 0.4 |
---|---|---|---|---|---|
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0.67 | 0.82 | 1.00 | 1.22 | 1.49 |
a) Calcule
por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
b) Calcule
c) Calcule
Dada a seguinte tabela, calcule
usando polinômios de Lagrange de grau 3.
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|
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---|---|---|---|---|---|
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0.5 | 0.57358 | 0.70711 | 0.76604 | 0.81915 |
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.
Dados os valores funcionais da função
, calcule
por meio de um spline interpolante cúbico.
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1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
---|---|---|---|---|---|
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1 |
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0.5 |
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A partir da tabela a seguir, referente à função
, e usando polinômios de Newton:
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0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
---|---|---|---|---|---|
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0 | 0.09983 | 0.19867 | 0.29552 | 0.38942 |
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.
b) interpole sen