Dada uma sequência de números reais
definimos como sendo a série associada a sequência
como sendo a expressão
. Definimos a soma da série
como sendo o limite
, onde
Com base nesta definição e usando o fato de que
, detemine a soma da série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a soma da série infinita
. Isso envolve o estudo de séries numéricas e o conceito de limite. Para resolver, vamos usar a fatoração da fração dada e entender como somar termos que se cancelam.
Passo 2
Primeiro, note que podemos simplificar a fração
usando frações parciais. Sabemos que:
Isso significa que cada termo da nossa série pode ser escrito como a diferença de dois termos consecutivos.
Passo 3
Agora, vamos escrever os primeiros termos da série usando essa decomposição:
Passo 4
Observe que ao somar esses termos, muitos se cancelam. Esse tipo de série é chamada de série teloscópica porque “se telescopa” ao longo da soma:
Passo 5
Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque
se aproxima de zero conforme
cresce sem limites.
Resposta
A soma da série
é igual a 1.