Dada uma sequência de números reais (an)n in N definimos como sendo a série associada a sequência (an)n in N como sendo a expressão sumn=1^infty an. Definimos a soma da série sumn=1^infty an como sendo o limite lim n infty sn, onde
sn=a1+a2+cdots+an
Com base nesta definição e usando o fato de que 1n(n+1)=1n-1n+1, detemine a soma da série sumn=1^infty 1n(n+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a soma da série infinita . Isso envolve o estudo de séries numéricas e o conceito de limite. Para resolver, vamos usar a fatoração da fração dada e entender como somar termos que se cancelam.

Passo 2

Primeiro, note que podemos simplificar a fração 1n(n+1) = 1n - 1n+1 usando frações parciais. Sabemos que:
Isso significa que cada termo da nossa série pode ser escrito como a diferença de dois termos consecutivos.

Passo 3

Agora, vamos escrever os primeiros termos da série usando essa decomposição:
sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 ) = ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots

Passo 4

Observe que ao somar esses termos, muitos se cancelam. Esse tipo de série é chamada de série teloscópica porque “se telescopa” ao longo da soma:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots = 11 - 1n+1

Passo 5

Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite quando limn to infty ( 1 - 1n+1 ) = 1 - 0 = 1 tende ao infinito:
Isso porque se aproxima de zero conforme cresce sem limites.

Resposta

A soma da série é igual a 1.

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