Prove que a sequência
onde
diverge para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A sequência é dada por
e a gente precisa provar que, conforme
cresce,
vai para
. Isso está relacionado com limites de sequências e como funções exponenciais se comportam quando o expoente cresce muito.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a análise, vamos aplicar o logaritmo natural na sequência
. Tirar o logaritmo ajuda a lidar melhor com potências grandes. Então teremos:
Passo 3
Agora, vamos aproximar o valor de
usando uma expansão em série para logaritmos quando
é pequeno (já que
tende a infinito). Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão conforme
tende a infinito:
Isso mostra que o logaritmo de
cresce sem limites.
Passo 6
Como
tende para
, a própria sequência
também tende para
. Isso porque a função exponencial é crescente, ou seja, se
vai para
, então
também vai:
Resposta
A sequência
, onde
, diverge para
.