Prove que a sequência {pn} onde p_n = (1 + 1/n)^(n^2) diverge para +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A sequência é dada por e a gente precisa provar que, conforme cresce, vai para . Isso está relacionado com limites de sequências e como funções exponenciais se comportam quando o expoente cresce muito.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a análise, vamos aplicar o logaritmo natural na sequência . Tirar o logaritmo ajuda a lidar melhor com potências grandes. Então teremos:

Passo 3

Agora, vamos aproximar o valor de usando uma expansão em série para logaritmos quando é pequeno (já que tende a infinito). Sabemos que:
Aplicando isso com :

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de :
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão conforme tende a infinito:
Isso mostra que o logaritmo de cresce sem limites.

Passo 6

Como tende para , a própria sequência também tende para . Isso porque a função exponencial é crescente, ou seja, se vai para , então também vai:

Resposta

A sequência , onde , diverge para .

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