Uma das mais importantes sequência numéricas da Matemática é a sequência de Fibonacci
definida assim,
, e
para todo
, com
. Defina agora a sequência
assim,
, para todo
, com
e mostre que ela converge.
Passo 1
Então, o enunciado nos apresenta a famosa sequência de Fibonacci, que começa assim:
. Cada número depois dos dois primeiros é a soma dos dois anteriores. A gente precisa definir uma nova sequência
e mostrar que essa sequência tem um limite, ou seja, que ela converge para algum valor quando
fica bem grande. Para resolver isso, vamos usar propriedades das sequências de Fibonacci e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência
se comporta. Sabemos que
. Mas, como os números de Fibonacci seguem a regra
, podemos substituir na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por
para simplificar a expressão:
Observamos que
é o inverso de
, que é justamente
:
Passo 4
Para encontrar o limite dessa sequência, vamos supor que ela converge para um valor
. Isso significa que, quando
fica bem grande,
e
ambos se aproximam de
. Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Desenvolvendo a expressão:
Organizando em forma de equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação
, as soluções são:
No nosso caso,
,
e
:
Passo 7
Precisamos escolher a solução que faz sentido no contexto da sequência. Como
representa uma razão entre dois números positivos de Fibonacci,
também deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução negativa e temos:
Resposta
A sequência
converge para
.