Uma das mais importantes sequência numéricas da Matemática é a sequência de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
definida assim, f1 = f2 = 1, e f_n = f_(n-1) + f_(n-2) para todo n in N, com n ≥ 3. Defina agora a sequência a_n assim, a_n = f_n / f_{n+1}, para todo n in N, com n ≥ 1 e mostre que ela converge.

Passo 1

Então, o enunciado nos apresenta a famosa sequência de Fibonacci, que começa assim: . Cada número depois dos dois primeiros é a soma dos dois anteriores. A gente precisa definir uma nova sequência e mostrar que essa sequência tem um limite, ou seja, que ela converge para algum valor quando fica bem grande. Para resolver isso, vamos usar propriedades das sequências de Fibonacci e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Sabemos que . Mas, como os números de Fibonacci seguem a regra , podemos substituir na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por para simplificar a expressão:
Observamos que é o inverso de , que é justamente :

Passo 4

Para encontrar o limite dessa sequência, vamos supor que ela converge para um valor . Isso significa que, quando fica bem grande, e ambos se aproximam de . Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Multiplicamos ambos os lados por :
Desenvolvendo a expressão:
Organizando em forma de equação quadrática:

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação , as soluções são:
No nosso caso, , e :

Passo 7

Precisamos escolher a solução que faz sentido no contexto da sequência. Como representa uma razão entre dois números positivos de Fibonacci, também deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução negativa e temos:

Resposta

A sequência converge para .

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