Se
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a sequência
converge para um número
, ou seja,
. O que precisamos mostrar é que a média dos primeiros
termos dessa sequência também converge para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de médias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, para qualquer número muito pequeno
, existe um índice
tal que, para todo
, a diferença entre
e
é menor que
:
Passo 3
Agora, vamos analisar a média dos primeiros
termos:
Queremos mostrar que, conforme
cresce, essa média se aproxima de
.
Passo 4
Vamos dividir a soma dos termos em duas partes: os termos antes de
e os termos a partir de
:
A primeira parte tem um número fixo de termos (até
), enquanto a segunda parte inclui os termos que estão perto de
.
Passo 5
Para a primeira parte, como são termos fixos, quando dividimos por
e
cresce, essa fração tende a zero:
Passo 6
Para a segunda parte, sabemos que todos os
para
estão dentro de
de
. Então:
Isso implica que:
Dividindo tudo por
:
Passo 7
Quando
tende ao infinito, os termos
tendem a zero. Portanto, a segunda parte da média fica entre
e
.
Passo 8
Juntando tudo, temos que a média total fica entre
e
para
suficientemente grande:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, mostramos que: