Se lim n infty xn=a, mostre que
lim n infty(x1+x2+cdots+xnn)=a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a sequência converge para um número , ou seja, . O que precisamos mostrar é que a média dos primeiros termos dessa sequência também converge para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de médias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa |xn - a| < epsilon . Isso quer dizer que, para qualquer número muito pequeno , existe um índice tal que, para todo , a diferença entre e é menor que :

Passo 3

Agora, vamos analisar a média dos primeiros x1 + x2 + cdots + xnn termos:
Queremos mostrar que, conforme cresce, essa média se aproxima de .

Passo 4

Vamos dividir a soma dos termos em duas partes: os termos antes de x1 + x2 + cdots + xnn = x1 + x2 + cdots + xN-1n + xN + xN+1 + cdots + xnn e os termos a partir de :
A primeira parte tem um número fixo de termos (até ), enquanto a segunda parte inclui os termos que estão perto de .

Passo 5

Para a primeira parte, como são termos fixos, quando dividimos por x1 + x2 + cdots + xN-1n to 0 quando n to infty e cresce, essa fração tende a zero:

Passo 6

Para a segunda parte, sabemos que todos os a - epsilon < xk < a + epsilon para todo k >= N para (a - epsilon)(n - N + 1) < xN + xN+1 + cdots + xn < (a + epsilon)(n - N + 1) estão dentro de a - epsilon - (a - epsilon)(N - 1)n < xN + xN+1 + cdots + xnn < a + epsilon + (a + epsilon)(N - 1)n de . Então:
Isso implica que:
Dividindo tudo por :

Passo 7

Quando tende ao infinito, os termos tendem a zero. Portanto, a segunda parte da média fica entre e .

Passo 8

Juntando tudo, temos que a média total fica entre a - epsilon < x1 + x2 + cdots + xnn < a + epsilon e limn to infty ( x1 + x2 + cdots + xnn ) = a para suficientemente grande:
Isso significa que:

Resposta

Portanto, mostramos que:
limn to infty ( x1 + x2 + cdots + xnn ) = a

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