Verifique se a sequência
onde
é limitada e determine todos os seus valores de aderência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a sequência
, onde
, é limitada e encontrar todos os seus valores de aderência. Isso envolve entender conceitos de sequências limitadas e pontos de acumulação (ou aderência). Vamos precisar usar propriedades da função cosseno e entender o comportamento da sequência conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns valores da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta. Vamos ver os primeiros termos:
Passo 3
Observando os valores calculados, percebemos que a sequência começa a se repetir a partir de
, igualando-se a
. Isso indica que a sequência é periódica com período 6, ou seja, a cada 6 termos ela volta a se repetir. Os valores que aparecem são:
Passo 4
Para verificar se a sequência é limitada, precisamos ver se existe um número que seja maior ou igual a todos os termos positivos e menor ou igual a todos os termos negativos. No nosso caso:
- O maior valor é
. - O menor valor é
.
Como todos os termos da sequência estão entre
e
, podemos dizer que a sequência é limitada. Em termos matemáticos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de aderência da sequência. Esses são os valores que a sequência “acumula” ou se aproxima indefinidamente. Como a sequência é periódica e repete os mesmos valores, os valores de aderência são justamente os diferentes valores que aparecem na sequência. Observando os termos calculados:
Esses são os únicos valores que a sequência assume repetidamente, então são os valores de aderência.
Resposta
A sequência
é limitada e seus valores de aderência são
.