Verifique se a sequência {m_n} onde m_n = cos(n * pi / 3) é limitada e determine todos os seus valores de aderência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a sequência , onde , é limitada e encontrar todos os seus valores de aderência. Isso envolve entender conceitos de sequências limitadas e pontos de acumulação (ou aderência). Vamos precisar usar propriedades da função cosseno e entender o comportamento da sequência conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns valores da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta. Vamos ver os primeiros termos:

Passo 3

Observando os valores calculados, percebemos que a sequência começa a se repetir a partir de , igualando-se a m0. Isso indica que a sequência é periódica com período 6, ou seja, a cada 6 termos ela volta a se repetir. Os valores que aparecem são:

Passo 4

Para verificar se a sequência é limitada, precisamos ver se existe um número que seja maior ou igual a todos os termos positivos e menor ou igual a todos os termos negativos. No nosso caso:
  • O maior valor é 1.
  • O menor valor é -1.
Como todos os termos da sequência estão entre -1 e 1, podemos dizer que a sequência é limitada. Em termos matemáticos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de aderência da sequência. Esses são os valores que a sequência “acumula” ou se aproxima indefinidamente. Como a sequência é periódica e repete os mesmos valores, os valores de aderência são justamente os diferentes valores que aparecem na sequência. Observando os termos calculados:
Esses são os únicos valores que a sequência assume repetidamente, então são os valores de aderência.

Resposta

A sequência {m_n} é limitada e seus valores de aderência são .

Exercícios relacionados