Dada a sequência definida por
Obtenha para que seja uma sequência estritamente crescente.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma sequência definida por e para . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que essa sequência seja estritamente crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior. Para resolver isso, vamos analisar as condições necessárias para que seja sempre verdadeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a condição de que a sequência seja estritamente crescente usando a relação de recorrência:
Substituindo pela expressão dada:

Passo 3

Agora, para resolver essa inequação, vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por 7:

Passo 4

Em seguida, vamos isolar os termos com do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 6:

Passo 6

Essa desigualdade nos diz que, para que cada termo seja maior que , o valor de deve ser menor que 0.5. Além disso, observamos que a sequência tende a se aproximar de um valor fixo, que podemos encontrar resolvendo a equação de equilíbrio:
Multiplicando ambos os lados por 7:
Isso confirma que 0.5 é o ponto de equilíbrio da sequência.

Passo 7

Para garantir que a sequência seja estritamente crescente e se aproxime de 0.5, o primeiro termo deve ser menor que 0.5. Se for maior ou igual a 0.5, a sequência não será estritamente crescente.

Resposta

O valor de deve ser menor que 0.5, ou seja, .

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