Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência estritamente crescente.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma sequência definida por
e
para
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que essa sequência seja estritamente crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior. Para resolver isso, vamos analisar as condições necessárias para que
seja sempre verdadeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a condição de que a sequência seja estritamente crescente usando a relação de recorrência:
Substituindo
pela expressão dada:
Passo 3
Agora, para resolver essa inequação, vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por 7:
Passo 4
Em seguida, vamos isolar os termos com
do lado esquerdo:
Passo 5
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por 6:
Passo 6
Essa desigualdade nos diz que, para que cada termo
seja maior que
, o valor de
deve ser menor que 0.5. Além disso, observamos que a sequência tende a se aproximar de um valor fixo, que podemos encontrar resolvendo a equação de equilíbrio:
Multiplicando ambos os lados por 7:
Isso confirma que 0.5 é o ponto de equilíbrio da sequência.
Passo 7
Para garantir que a sequência seja estritamente crescente e se aproxime de 0.5, o primeiro termo
deve ser menor que 0.5. Se
for maior ou igual a 0.5, a sequência não será estritamente crescente.
Resposta
O valor de
deve ser menor que 0.5, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Prove que, usando definição, que se
, então
.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.