Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma raiz da função
com uma precisão de 0,005. Isso significa que queremos descobrir o valor de
que faz
, ou seja, onde a função cruza o eixo x. Para resolver isso, vamos usar o Método da Bissecção, que é bem legal para encontrar raízes quando a função muda de sinal em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde a função
muda de sinal. Isso significa que
e
têm sinais opostos, indicando que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo (pela regra de Bolzano). Vamos tentar alguns valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vimos que
e
. Como os sinais mudam de positivo para negativo entre 1 e 2, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual metade a função muda de sinal, repetindo o processo até alcançarmos a precisão desejada. Vamos começar:
-
Intervalo inicial:
-
Calcula o ponto médio:
-
Avalia
: O valor está praticamente próximo de zero, mas ainda não temos a precisão de 0,005, então continuamos.
Passo 4
Continuamos subdividindo o intervalo:
-
Novo intervalo:
(porque é quase zero, mas vamos manter a precisão) -
Ponto médio:
-
Avalia
: Comoe , a raiz está entre 1.25 e 1.5. -
Novo ponto médio:
-
Avalia
: Continua positivo, então o intervalo é. -
Ponto médio:
-
Avalia
: Ainda positivo, então o intervalo é. -
Ponto médio:
-
Avalia
: Continuando positivo, o intervalo agora é. -
Ponto médio:
-
Avalia
: Ainda positivo, então o intervalo é. -
Ponto médio:
-
Avalia
: Agora,é negativo, então a raiz está entre 1.484375 e 1.4921875. A diferença entre os limites é aproximadamente 0.0078, que é menor que a precisão desejada de 0.005.
Resposta
A raiz aproximada de
com precisão de 0,005 é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência estritamente crescente.
Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.
Determine a equação da reta tangente à função
no ponto indicado: