Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma raiz da função com uma precisão de 0,005. Isso significa que queremos descobrir o valor de que faz , ou seja, onde a função cruza o eixo x. Para resolver isso, vamos usar o Método da Bissecção, que é bem legal para encontrar raízes quando a função muda de sinal em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal. Isso significa que e têm sinais opostos, indicando que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo (pela regra de Bolzano). Vamos tentar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vimos que e . Como os sinais mudam de positivo para negativo entre 1 e 2, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual metade a função muda de sinal, repetindo o processo até alcançarmos a precisão desejada. Vamos começar:
  1. Intervalo inicial:
  2. Calcula o ponto médio:
  3. Avalia :
    O valor está praticamente próximo de zero, mas ainda não temos a precisão de 0,005, então continuamos.

Passo 4

Continuamos subdividindo o intervalo:
  1. Novo intervalo: (porque é quase zero, mas vamos manter a precisão)
  2. Ponto médio:
  3. Avalia :
    Como e , a raiz está entre 1.25 e 1.5.
  4. Novo ponto médio:
  5. Avalia :
    Continua positivo, então o intervalo é .
  6. Ponto médio:
  7. Avalia :
    Ainda positivo, então o intervalo é .
  8. Ponto médio:
  9. Avalia :
    Continuando positivo, o intervalo agora é .
  10. Ponto médio:
  11. Avalia :
    Ainda positivo, então o intervalo é .
  12. Ponto médio:
  13. Avalia :
    Agora, é negativo, então a raiz está entre 1.484375 e 1.4921875. A diferença entre os limites é aproximadamente 0.0078, que é menor que a precisão desejada de 0.005.

Resposta

A raiz aproximada de com precisão de 0,005 é .

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