Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Então, temos a função
e precisamos provar que a equação
tem exatamente uma única solução real. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções, para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
. A função
oscila entre -1 e 1, enquanto
é uma parábola que cresce para cima à medida que
aumenta ou diminui.
Passo 3
Para encontrar as raízes de
, queremos saber onde
. Vamos analisar onde essas duas funções se cruzam.
Passo 4
Vamos examinar o comportamento de
para diferentes valores de
:
-
Quando
:
-
Quando
:
Isso mostra que a função
muda de positiva para negativa no intervalo
.
Passo 5
Segundo o Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como
e
, há pelo menos uma solução entre 0 e
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se há mais de uma raiz. Para isso, analisamos a derivada de
:
Vamos ver o comportamento de
:
- A função
oscila entre -1 e 1. - A função
é uma reta decrescente.
Portanto,
é sempre negativa para
, o que significa que
é uma função estritamente decrescente nesse intervalo.
Passo 7
Como
é estritamente decrescente em
e muda de positiva para negativa uma única vez, isso implica que existe exatamente uma única raiz nesse intervalo.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
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Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.
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Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto
Prove que, usando definição, que se
, então
.
Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência estritamente crescente.