Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Então, temos a função e precisamos provar que a equação tem exatamente uma única solução real. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções, para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função . A função oscila entre -1 e 1, enquanto é uma parábola que cresce para cima à medida que aumenta ou diminui.

Passo 3

Para encontrar as raízes de , queremos saber onde . Vamos analisar onde essas duas funções se cruzam.

Passo 4

Vamos examinar o comportamento de para diferentes valores de :
  • Quando :
  • Quando :
Isso mostra que a função muda de positiva para negativa no intervalo .

Passo 5

Segundo o Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como e , há pelo menos uma solução entre 0 e .

Passo 6

Agora, vamos verificar se há mais de uma raiz. Para isso, analisamos a derivada de :
Vamos ver o comportamento de :
  • A função oscila entre -1 e 1.
  • A função é uma reta decrescente.
Portanto, é sempre negativa para , o que significa que é uma função estritamente decrescente nesse intervalo.

Passo 7

Como é estritamente decrescente em e muda de positiva para negativa uma única vez, isso implica que existe exatamente uma única raiz nesse intervalo.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

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