Prove que, usando definição, que se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, usando a definição de limite, se , então , para qualquer número real . Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências e propriedades de limites. Vamos precisar da definição formal de limite para sequências para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número natural tal que, para todo , a distância entre e é menor que . Em fórmula:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que . Vamos usar a definição de limite para a sequência . Precisamos mostrar que, para todo , existe um tal que, para todo , a diferença entre e é menor que .

Passo 4

Vamos começar calculando a diferença . Podemos fatorar o :

Passo 5

Queremos que . Para isso, podemos relacionar com a definição de limite original. Sabemos que , desde que . Se , então , e a desigualdade é automaticamente satisfeita.

Passo 6

Assumindo que , dado , escolhemos . Pela definição de , existe um tal que, para todo ,

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Portanto,

Resposta

Assim, provamos que para qualquer .

Exercícios relacionados

Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.
Dada a sequência definida por
Obtenha para que seja uma sequência estritamente crescente.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.