Prove que, usando definição, que se lim n +infty an=a, então lim n +infty b an=b a, forall b in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, usando a definição de limite, se lim n +infty an=a, então lim n +infty b cdot an=b cdot a, para qualquer número real b. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências e propriedades de limites. Vamos precisar da definição formal de limite para sequências para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que limn +infty an = a se, para todo número positivo varepsilon, existe um número natural N tal que, para todo n >= N, a distância entre an e a é menor que varepsilon. Em fórmula:
forall varepsilon > 0, exists N in N, tal que forall n >= N, |an - a| < varepsilon

Passo 3

Agora, queremos mostrar que lim n +infty b cdot an=b cdot a. Vamos usar a definição de limite para a sequência b cdot an. Precisamos mostrar que, para todo varepsilon > 0, existe um N tal que, para todo n >= N, a diferença entre b cdot an e b cdot a é menor que varepsilon.

Passo 4

Vamos começar calculando a diferença |b cdot an - b cdot a|. Podemos fatorar o b:
|b cdot an - b cdot a| = |b| cdot |an - a|

Passo 5

Queremos que |b| cdot |an - a| < varepsilon. Para isso, podemos relacionar com a definição de limite original. Sabemos que |an - a| < varepsilon|b|, desde que b neq 0. Se b = 0, então b cdot an = 0 = b cdot a, e a desigualdade é automaticamente satisfeita.

Passo 6

Assumindo que b neq 0, dado varepsilon > 0, escolhemos de. Pela definição de limn +infty an = a, existe um N tal que, para todo n >= N,
|an - a| < de

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por |b|, temos:
|b| cdot |an - a| < |b| cdot varepsilon|b| = varepsilon
Portanto,
|b cdot an - b cdot a| < varepsilon

Resposta

Assim, provamos que lim n +infty b cdot an=b cdot a para qualquer b in R.

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