Prove que, usando definição, que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, usando a definição de limite, se
, então
, para qualquer número real
. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências e propriedades de limites. Vamos precisar da definição formal de limite para sequências para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
se, para todo número positivo
, existe um número natural
tal que, para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Em fórmula:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
. Vamos usar a definição de limite para a sequência
. Precisamos mostrar que, para todo
, existe um
tal que, para todo
, a diferença entre
e
é menor que
.
Passo 4
Vamos começar calculando a diferença
. Podemos fatorar o
:
Passo 5
Queremos que
. Para isso, podemos relacionar com a definição de limite original. Sabemos que
, desde que
. Se
, então
, e a desigualdade é automaticamente satisfeita.
Passo 6
Assumindo que
, dado
, escolhemos
. Pela definição de
, existe um
tal que, para todo
,
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Portanto,
Resposta
Assim, provamos que
para qualquer
.
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.
O conjunto dos números racionais
Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência estritamente crescente.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.