Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre a função
e nos pede para provar que a equação
tem exatamente uma única solução real. Isso envolve conceitos de funções, continuidade e derivadas para analisar como a função se comporta. Vamos precisar entender como a função varia e mostrar que ela cruza o eixo x apenas uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que o cosseno de x,
, é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. O termo
simplesmente eleva todo o gráfico de
em 1 unidade. Já o termo
é uma parábola invertida, que cresce negativamente à medida que x aumenta ou diminui. Então, combinando esses termos, queremos ver onde essa função toca o eixo x.
Passo 3
Para provar que
tem apenas uma solução, vamos olhar para a derivada da função,
, que nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo. Calculando a derivada:
Isso nos mostrará onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Sabemos que
varia entre -1 e 1, mas o termo
fica cada vez mais negativo conforme x aumenta ou diminui. Isso significa que, para valores de x diferentes de zero,
é sempre negativo, indicando que a função
está sempre diminuindo.
Passo 5
Como
está sempre diminuindo (visto que
para todo x diferente de zero), isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo locais. Ou seja, ela simplesmente desce de um lado para o outro sem se curvar para cima. Portanto, ela pode cruzar o eixo x no máximo uma vez.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se a função realmente cruza o eixo x. Observando os limites:
- Quando
: (positivo) - Quando
tende para ou : tende para devido ao termo
Como a função passa de positivo para negativo e está sempre diminuindo, ela deve cruzar o eixo x exatamente uma vez.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
Exercícios relacionados
Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência estritamente crescente.
Prove que, usando definição, que se
, então
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.