Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre a função e nos pede para provar que a equação tem exatamente uma única solução real. Isso envolve conceitos de funções, continuidade e derivadas para analisar como a função se comporta. Vamos precisar entender como a função varia e mostrar que ela cruza o eixo x apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o cosseno de x, , é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. O termo simplesmente eleva todo o gráfico de em 1 unidade. Já o termo é uma parábola invertida, que cresce negativamente à medida que x aumenta ou diminui. Então, combinando esses termos, queremos ver onde essa função toca o eixo x.

Passo 3

Para provar que tem apenas uma solução, vamos olhar para a derivada da função, , que nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo. Calculando a derivada:
Isso nos mostrará onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 4

Agora, vamos analisar . Sabemos que varia entre -1 e 1, mas o termo fica cada vez mais negativo conforme x aumenta ou diminui. Isso significa que, para valores de x diferentes de zero, é sempre negativo, indicando que a função está sempre diminuindo.

Passo 5

Como está sempre diminuindo (visto que para todo x diferente de zero), isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo locais. Ou seja, ela simplesmente desce de um lado para o outro sem se curvar para cima. Portanto, ela pode cruzar o eixo x no máximo uma vez.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se a função realmente cruza o eixo x. Observando os limites:
  • Quando : (positivo)
  • Quando tende para ou : tende para devido ao termo
Como a função passa de positivo para negativo e está sempre diminuindo, ela deve cruzar o eixo x exatamente uma vez.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

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Seja . Provar que a equação possui somente uma raíz real .