Dada a sequência definida por
A sequência é limitada para ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A sequência é dada por:
A questão quer saber se essa sequência é limitada quando começamos com . Ser limitada significa que existe algum número que é o limite máximo que os termos da sequência não ultrapassam, tanto acima quanto abaixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Sabemos que cada termo é calculado a partir de usando a fórmula . Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
Observamos que os termos estão diminuindo e se aproximando de um certo valor.

Passo 3

Para determinar se a sequência é limitada, vamos encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Se o limite existir e for finito, a sequência é limitada.
Vamos chamar o limite de . Se a sequência converge para , então:
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 6:

Passo 4

Agora que encontramos que o limite é , podemos concluir que a sequência está se aproximando desse valor. Além disso, observamos que os termos estão diminuindo e se aproximando de .
Como todos os termos estão se aproximando de e não ficam tendendo ao infinito, podemos dizer que a sequência é limitada. Isso porque existe um número que serve como limite superior e inferior para os termos da sequência.

Resposta

Sim, a sequência é limitada para , e seus termos convergem para .

Exercícios relacionados

Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Inverter a ordem de integração. .
O que significa a equaçâo abaixo
É possivel que a equaçâo anterior seja verdadeira, mas que ? Explique.