Dada a sequência x_n definida por
x1 := A, xn+1 := (xn + 3) / 7, n ≥ 1
A sequência x_n é limitada para x1 = 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A sequência é dada por:
A questão quer saber se essa sequência é limitada quando começamos com . Ser limitada significa que existe algum número que é o limite máximo que os termos da sequência não ultrapassam, tanto acima quanto abaixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Sabemos que cada termo x_n+1 é calculado a partir de usando a fórmula . Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
Observamos que os termos estão diminuindo e se aproximando de um certo valor.

Passo 3

Para determinar se a sequência é limitada, vamos encontrar o limite dessa sequência quando n tende ao infinito. Se o limite existir e for finito, a sequência é limitada.
Vamos chamar o limite de L. Se a sequência converge para L, então:
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
Subtraindo L de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 6:

Passo 4

Agora que encontramos que o limite é , podemos concluir que a sequência está se aproximando desse valor. Além disso, observamos que os termos estão diminuindo e se aproximando de .
Como todos os termos estão se aproximando de 1/2 e não ficam tendendo ao infinito, podemos dizer que a sequência é limitada. Isso porque existe um número que serve como limite superior e inferior para os termos da sequência.

Resposta

Sim, a sequência x_n é limitada para x1 = 1, e seus termos convergem para 1/2.

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