Dada a sequência
definida por
A sequência
é limitada para
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A sequência é dada por:
A questão quer saber se essa sequência é limitada quando começamos com
. Ser limitada significa que existe algum número que é o limite máximo que os termos da sequência não ultrapassam, tanto acima quanto abaixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Sabemos que cada termo
é calculado a partir de
usando a fórmula
. Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
Observamos que os termos estão diminuindo e se aproximando de um certo valor.
Passo 3
Para determinar se a sequência é limitada, vamos encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Se o limite existir e for finito, a sequência é limitada.
Vamos chamar o limite de
. Se a sequência converge para
, então:
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 6:
Passo 4
Agora que encontramos que o limite é
, podemos concluir que a sequência está se aproximando desse valor. Além disso, observamos que os termos estão diminuindo e se aproximando de
.
Como todos os termos
estão se aproximando de
e não ficam tendendo ao infinito, podemos dizer que a sequência é limitada. Isso porque existe um número que serve como limite superior e inferior para os termos da sequência.
Resposta
Sim, a sequência
é limitada para
, e seus termos convergem para
.
Exercícios relacionados
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Inverter a ordem de integração.
.
O que significa a equaçâo abaixo
É possivel que a equaçâo anterior seja verdadeira, mas que
? Explique.