Inverter a ordem de integração. .

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte integral dupla para resolver:
O que a gente precisa fazer aqui é inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar em relação a primeiro e depois a , vamos fazer o contrário: integrar em relação a primeiro e depois a . Para isso, vamos usar conceitos de áreas de integração em cálculo de múltiplas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. O varia de até . Para cada , o varia de até .
Vamos desenhar esse domínio no plano para visualizar melhor. Imagine o eixo indo de a e o eixo de até .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem, precisamos expressar os limites de em termos de . Ou seja, para cada , vamos encontrar os valores de que satisfazem as condições.
Sabemos que varia de até . Calculando :
Então, vai de até .

Passo 4

Agora, para cada , queremos encontrar os valores de tais que .
Resolvendo para :
Como também é limitado por , temos que varia de até .

Passo 5

Com isso, os novos limites de integração ficam:
  • varia de até
  • Para cada , varia de até
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Dada a sequência definida por
A sequência é limitada para ?
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
O que significa a equaçâo abaixo
É possivel que a equaçâo anterior seja verdadeira, mas que ? Explique.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.