Inverter a ordem de integração.
.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte integral dupla para resolver:
O que a gente precisa fazer aqui é inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar em relação a
primeiro e depois a
, vamos fazer o contrário: integrar em relação a
primeiro e depois a
. Para isso, vamos usar conceitos de áreas de integração em cálculo de múltiplas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. O
varia de
até
. Para cada
, o
varia de
até
.
Vamos desenhar esse domínio no plano
para visualizar melhor. Imagine o eixo
indo de
a
e o eixo
de
até
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem, precisamos expressar os limites de
em termos de
. Ou seja, para cada
, vamos encontrar os valores de
que satisfazem as condições.
Sabemos que
varia de
até
. Calculando
:
Então,
vai de
até
.
Passo 4
Agora, para cada
, queremos encontrar os valores de
tais que
.
Resolvendo
para
:
Como
também é limitado por
, temos que
varia de
até
.
Passo 5
Com isso, os novos limites de integração ficam:
-
varia de até - Para cada
, varia de até
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Dada a sequência
definida por
A sequência
é limitada para
?
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
O que significa a equaçâo abaixo
É possivel que a equaçâo anterior seja verdadeira, mas que
? Explique.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.