Inverter a ordem de integração. integral0^pi4 integral2 raiz2pi^sen(x) f(x, y) d y d x.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte integral dupla para resolver:
integral0^pi4 integral2 raiz2pi^sin(x) f(x, y) , dy , dx
O que a gente precisa fazer aqui é inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar em relação a primeiro e depois a , vamos fazer o contrário: integrar em relação a primeiro e depois a . Para isso, vamos usar conceitos de áreas de integração em cálculo de múltiplas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. O varia de até . Para cada , o varia de até .
Vamos desenhar esse domínio no plano para visualizar melhor. Imagine o eixo indo de a e o eixo de até .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem, precisamos expressar os limites de sin(pi4) = raiz22 em termos de . Ou seja, para cada , vamos encontrar os valores de que satisfazem as condições.
Sabemos que varia de até . Calculando :
Então, vai de até .

Passo 4

Agora, para cada x >= sin^-1(y) , queremos encontrar os valores de tais que .
Resolvendo para :
Como também é limitado por , temos que varia de até .

Passo 5

Com isso, os novos limites de integração ficam:
  • integral2 raiz2pi^raiz22 integralsin^-1(y)^pi4 f(x, y) , dx , dy varia de até
  • Para cada , varia de até
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral2 raiz2pi^raiz22 integralsin^-1(y)^pi4 f(x, y) , dx , dy

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