Dada uma seqüência x_n, prove que o fecho do conjunto X = {xn ; n ∈ N} é X_bar = X U A, onde A é o conjunto dos valores de aderência de x_n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência e um conjunto , que é basicamente todos os termos dessa sequência. A questão quer que a gente prove que o fecho desse conjunto, que a gente denota por , é igual a unido com , onde é o conjunto dos valores de aderência (ou pontos de acumulação) da sequência .
Para resolver isso, precisamos saber o que é o fecho de um conjunto e o que são valores de aderência.

Passo 2

O fecho de um conjunto , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém . Em termos mais simples, ele inclui todos os pontos de mais todos os pontos onde “se acumula” ou “aproxima”.
Os valores de aderência (ou pontos de acumulação) de uma sequência são aqueles pontos que são limites de alguma subsequência de . Ou seja, mesmo que a sequência não convirja para esse ponto, existem termos da sequência que ficam arbitrariamente próximos dele.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que .
Primeiro, mostraremos que . Como está contido no fecho de por definição, e consiste nos pontos de acumulação que também pertencem ao fecho, então está dentro de .

Passo 4

Em seguida, precisamos provar que . Ou seja, qualquer ponto que esteja no fecho de deve estar ou em ou em .
Se um ponto está no fecho de , então ele é um limite de alguma sequência de pontos em . Se esse ponto já está em , está claro. Caso contrário, ele deve ser um ponto de acumulação, ou seja, pertence a .

Passo 5

Dessa forma, combinando os dois passos anteriores, temos que é exatamente .

Resposta

O fecho do conjunto é , onde é o conjunto dos valores de aderência da sequência .

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