Prove que se
tem fronteira vazia então
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que se um conjunto
dentro dos números reais
tem fronteira vazia, então ele precisa ser ou vazio
ou ser todo o conjunto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre fronteiras e conjuntos abertos ou fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de
, denotada por
, é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança desse ponto contém pontos de
e de
. Se a fronteira é vazia, isso significa que não existem pontos onde
e seu complemento “se encontram”.
Passo 3
Agora, consideramos que
tem fronteira vazia, ou seja,
. Isso implica que
é aberto e fechado ao mesmo tempo. Na topologia de
, os únicos conjuntos que são abertos e fechados (chamados de conjuntos clopen) são o conjunto vazio
e o próprio espaço
.
Passo 4
Vamos justificar isso: se
é aberto, então todo ponto de
é um ponto interior. Se
é fechado, então contém todos os seus pontos de limite. Se
, não há pontos de limite fora de
, então ou
não tem pontos (está vazio) ou inclui todos os pontos de
.
Passo 5
Portanto, concluímos que se
tem fronteira vazia, as únicas possibilidades são que
seja vazio ou que seja todo o conjunto dos números reais.
Resposta
Se
tem fronteira vazia, então
ou
.