Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que se um conjunto dentro dos números reais tem fronteira vazia, então ele precisa ser ou vazio ou ser todo o conjunto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre fronteiras e conjuntos abertos ou fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de , denotada por , é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança desse ponto contém pontos de e de . Se a fronteira é vazia, isso significa que não existem pontos onde e seu complemento “se encontram”.
Passo 3
Agora, consideramos que tem fronteira vazia, ou seja, . Isso implica que é aberto e fechado ao mesmo tempo. Na topologia de , os únicos conjuntos que são abertos e fechados (chamados de conjuntos clopen) são o conjunto vazio e o próprio espaço .
Passo 4
Vamos justificar isso: se é aberto, então todo ponto de é um ponto interior. Se é fechado, então contém todos os seus pontos de limite. Se , não há pontos de limite fora de , então ou não tem pontos (está vazio) ou inclui todos os pontos de .
Passo 5
Portanto, concluímos que se tem fronteira vazia, as únicas possibilidades são que seja vazio ou que seja todo o conjunto dos números reais.