Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊆ R são isolados então pode-se escolher, para cada x em X, um intervalo aberto Ix, de centro x, tal que x ≠ y => I3 ⊔ y = ∅.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de números reais onde cada ponto é isolado. Isso significa que nenhum ponto de está “acumulado” perto de outro ponto de . O que a questão quer que a gente prove é que podemos, para cada ponto em , escolher um intervalo aberto ao redor de (chamado ) de tal maneira que, se pegarmos dois pontos diferentes e de , os respectivos intervalos e não se sobreponham. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos isolados e intervalos abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto isolado. Um ponto em é isolado se existe um intervalo aberto ao redor de que não contém nenhum outro ponto de . Isso significa que podemos “separar” dos outros pontos de usando intervalos abertos.

Passo 3

Agora, para cada , como é isolado, existe um intervalo aberto centrado em que não contém nenhum outro ponto de . Vamos representar esse intervalo como , onde é um número positivo que escolhemos pequeno o suficiente para garantir que não inclua nenhum outro ponto de .

Passo 4

O próximo passo é garantir que, para quaisquer dois pontos diferentes e em , os intervalos e não se sobreponham. Para isso, vamos escolher e de forma que a distância entre e seja maior do que a soma de e . Como todos os pontos são isolados, podemos sempre encontrar tais s.

Passo 5

Vamos formalizar isso: suponha que e são dois pontos diferentes em . A distância entre eles é . Como os pontos são isolados, podemos escolher e tais que . Assim, os intervalos e não se tocam, ou seja, .

Passo 6

Dessa forma, para cada ponto em , escolhemos um intervalo aberto centrado em com raio suficientemente pequeno. Como fizemos isso para todos os pontos de e garantimos que intervalos de pontos diferentes não se sobrepõem, completamos a prova.

Resposta

Conseguimos provar que, se todos os pontos do conjunto são isolados, então para cada , existe um intervalo aberto centrado em tal que, para quaisquer , os intervalos e não se sobrepõem. Ou seja, .

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