Prove que se todos os pontos do conjunto
são isolados então pode-se escolher, para cada
, um intervalo aberto
, de centro
, tal que
.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto
de números reais onde cada ponto é isolado. Isso significa que nenhum ponto de
está “acumulado” perto de outro ponto de
. O que a questão quer que a gente prove é que podemos, para cada ponto
em
, escolher um intervalo aberto ao redor de
(chamado
) de tal maneira que, se pegarmos dois pontos diferentes
e
de
, os respectivos intervalos
e
não se sobreponham. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos isolados e intervalos abertos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto isolado. Um ponto
em
é isolado se existe um intervalo aberto ao redor de
que não contém nenhum outro ponto de
. Isso significa que podemos “separar”
dos outros pontos de
usando intervalos abertos.
Passo 3
Agora, para cada
, como
é isolado, existe um intervalo aberto
centrado em
que não contém nenhum outro ponto de
. Vamos representar esse intervalo como
, onde
é um número positivo que escolhemos pequeno o suficiente para garantir que
não inclua nenhum outro ponto de
.
Passo 4
O próximo passo é garantir que, para quaisquer dois pontos diferentes
e
em
, os intervalos
e
não se sobreponham. Para isso, vamos escolher
e
de forma que a distância entre
e
seja maior do que a soma de
e
. Como todos os pontos são isolados, podemos sempre encontrar tais
s.
Passo 5
Vamos formalizar isso: suponha que
e
são dois pontos diferentes em
. A distância entre eles é
. Como os pontos são isolados, podemos escolher
e
tais que
. Assim, os intervalos
e
não se tocam, ou seja,
.
Passo 6
Dessa forma, para cada ponto
em
, escolhemos um intervalo aberto
centrado em
com raio
suficientemente pequeno. Como fizemos isso para todos os pontos de
e garantimos que intervalos de pontos diferentes não se sobrepõem, completamos a prova.
Resposta
Conseguimos provar que, se todos os pontos do conjunto
são isolados, então para cada
, existe um intervalo aberto
centrado em
tal que, para quaisquer
, os intervalos
e
não se sobrepõem. Ou seja,
.
Exercícios relacionados
1
Prove que, para todo , tem-se
. Conclua que se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
Prove que, para todo
Dada uma seqüência
, prove que o fecho do conjunto
é
, onde
é o conjunto dos valores de aderência de
.
Determine se a série geométrica a seguir é convergente, se sim, calcule a sua soma.
Encontre a série de Taylor de
centrada em
:
com centro em