Sejam X, Y subset R. Prove que X ∪ Y = ¬X ∪ ¬Y e que X U Y ⊆ ¬X U ¬Y. Dê exemplo em que X ∩ Y ≠ ¬X ∩ ¬Y.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas coisas envolvendo fechamentos de conjuntos e na reta real . O fechamento de um conjunto é basicamente o menor conjunto fechado que contém o conjunto original, ou seja, inclui todos os seus pontos de limite.
Aqui, vamos precisar entender algumas propriedades de fechamentos, como:
  • Fechamento da união: O fechamento da união de dois conjuntos é igual à união dos fechamentos desses conjuntos.
  • Fechamento da interseção: O fechamento da interseção está contido na interseção dos fechamentos, mas nem sempre é igual.
Com isso em mente, vamos provar:
  1. Encontrar um exemplo onde

Passo 2

Primeiro, vamos provar que o fechamento da união é igual à união dos fechamentos: .
Teoria usada: Sabemos que o fechamento de um conjunto inclui todos os seus pontos de limite. A união combina todos os elementos de e , então seu fechamento deve incluir todos os pontos de limite de e de .

Passo 3

Vamos provar que :
  1. Tome um ponto em .
  2. Isso significa que toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de .
  3. Então, é um ponto de limite de ou de .
  4. Logo, está em ou em , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos provar que :
  1. Tome um ponto em .
  2. Então, está em ou em .
  3. Se está em , toda vizinhança de contém um ponto de , que está em .
  4. O mesmo vale se está em .
  5. Portanto, está em .

Passo 5

Como mostramos que e , concluímos que:

Passo 6

Agora, vamos provar que o fechamento da interseção está contido na interseção dos fechamentos: .
Teoria usada: Se um ponto está no fechamento de , então toda vizinhança desse ponto contém pontos de , implicando que ele está tanto em quanto em .

Passo 7

Vamos mostrar que :
  1. Tome um ponto em .
  2. Isso significa que toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de .
  3. Assim, toda vizinhança de contém pontos de , então .
  4. Da mesma forma, toda vizinhança de contém pontos de , então .
  5. Portanto, está na interseção .

Passo 8

Finalmente, precisamos de um exemplo onde .
Vamos considerar:
Análise:
  • (vazio), então .
  • e , então .
  • Logo, .

Resposta

Proporcionamos as provas de que e que , além de um exemplo onde .

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