Sejam . Prove que e que X U Y ⊆ ¬X U ¬Y. Dê exemplo em que X ∩ Y ≠ ¬X ∩ ¬Y.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas coisas envolvendo fechamentos de conjuntos e na reta real . O fechamento de um conjunto é basicamente o menor conjunto fechado que contém o conjunto original, ou seja, inclui todos os seus pontos de limite.
Aqui, vamos precisar entender algumas propriedades de fechamentos, como:
Fechamento da união: O fechamento da união de dois conjuntos é igual à união dos fechamentos desses conjuntos.
Fechamento da interseção: O fechamento da interseção está contido na interseção dos fechamentos, mas nem sempre é igual.
Com isso em mente, vamos provar:
Encontrar um exemplo onde
Passo 2
Primeiro, vamos provar que o fechamento da união é igual à união dos fechamentos: .
Teoria usada: Sabemos que o fechamento de um conjunto inclui todos os seus pontos de limite. A união combina todos os elementos de e , então seu fechamento deve incluir todos os pontos de limite de e de .
Passo 3
Vamos provar que :
Tome um ponto em .
Isso significa que toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de .
Então, é um ponto de limite de ou de .
Logo, está em ou em , ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos provar que :
Tome um ponto em .
Então, está em ou em .
Se está em , toda vizinhança de contém um ponto de , que está em .
O mesmo vale se está em .
Portanto, está em .
Passo 5
Como mostramos que e , concluímos que:
Passo 6
Agora, vamos provar que o fechamento da interseção está contido na interseção dos fechamentos: .
Teoria usada: Se um ponto está no fechamento de , então toda vizinhança desse ponto contém pontos de , implicando que ele está tanto em quanto em .
Passo 7
Vamos mostrar que :
Tome um ponto em .
Isso significa que toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de .
Assim, toda vizinhança de contém pontos de , então .
Da mesma forma, toda vizinhança de contém pontos de , então .
Portanto, está na interseção .
Passo 8
Finalmente, precisamos de um exemplo onde .
Vamos considerar:
Análise:
(vazio), então .
e , então .
Logo, .
Resposta
Proporcionamos as provas de que e que , além de um exemplo onde .