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Prove que, para todo X ⊆ R, tem-se X = X u X'. Conclua que se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para qualquer conjunto de números reais, o fecho de ( ) é igual à união de com seu conjunto de pontos de acumulação ( ). Depois, precisamos concluir que é fechado se e somente se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Vamos precisar entender o que são fecho, pontos de acumulação e conjuntos fechados para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fecho de um conjunto . O fecho de é o menor conjunto fechado que contém . Em outras palavras, é junto com todos os seus pontos de acumulação.

Passo 3

Agora, vamos entender o que são pontos de acumulação. Um ponto é um ponto de acumulação de se toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de diferente de . O conjunto de todos os pontos de acumulação de é .

Passo 4

Com essas definições em mente, podemos ver que deve incluir todos os pontos de e todos os pontos de acumulação de . Portanto, . Isso porque o fecho adiciona exatamente os pontos que “limitam” , que são os pontos de acumulação.

Passo 5

Agora, para a segunda parte, queremos mostrar que é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação.
Primeiro, se é fechado, então por definição, ele contém todos os seus pontos de acumulação, já que o fecho de seria mesmo.
Conversamente, se contém todos os seus pontos de acumulação, então , o que significa que é igual ao seu fecho e, portanto, é fechado.

Resposta

Portanto, provamos que para todo , e que é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação.

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