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Prove que, para todo
, tem-se
. Conclua que se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
Prove que, para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para qualquer conjunto
de números reais, o fecho de
(
) é igual à união de
com seu conjunto de pontos de acumulação (
). Depois, precisamos concluir que
é fechado se e somente se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Vamos precisar entender o que são fecho, pontos de acumulação e conjuntos fechados para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fecho de um conjunto
. O fecho de
é o menor conjunto fechado que contém
. Em outras palavras, é
junto com todos os seus pontos de acumulação.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são pontos de acumulação. Um ponto
é um ponto de acumulação de
se toda vizinhança de
contém pelo menos um ponto de
diferente de
. O conjunto de todos os pontos de acumulação de
é
.
Passo 4
Com essas definições em mente, podemos ver que
deve incluir todos os pontos de
e todos os pontos de acumulação de
. Portanto,
. Isso porque o fecho adiciona exatamente os pontos que “limitam”
, que são os pontos de acumulação.
Passo 5
Agora, para a segunda parte, queremos mostrar que
é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação.
Primeiro, se
é fechado, então por definição, ele contém todos os seus pontos de acumulação, já que o fecho de
seria
mesmo.
Conversamente, se
contém todos os seus pontos de acumulação, então
, o que significa que
é igual ao seu fecho e, portanto, é fechado.
Resposta
Portanto, provamos que para todo
,
e que
é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação.