Dada as seqüências abaixo: x_n, n pertence a N dada por: x1 = raiz(a), xn+1 = 1 / (1 + xn). Mostre que: x_n, n pertence a N é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de sequências numéricas. A gente tem uma sequência definida por e . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, tem um limite quando tende ao infinito, e descobrir qual é esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge para um limite se, conforme aumenta, os termos se aproximam cada vez mais de . Para mostrar que nossa sequência converge, vamos supor que ela tem um limite e ver o que isso implica.

Passo 3

Se a sequência converge para , então o limite de também é . Então, podemos escrever a equação do limite a partir da definição da sequência:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador, temos:

Passo 5

Reorganizando a equação para ter zero de um lado:
Esta é uma equação quadrática na forma . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 6

Calculando o discriminante :
Então,
Como estamos lidando com termos positivos da sequência (pois é positivo e é uma fração positiva), descartamos a solução negativa. Portanto:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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