Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de sequências numéricas. A gente tem uma sequência definida por
e
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, tem um limite quando
tende ao infinito, e descobrir qual é esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, conforme
aumenta, os termos
se aproximam cada vez mais de
. Para mostrar que nossa sequência converge, vamos supor que ela tem um limite
e ver o que isso implica.
Passo 3
Se a sequência
converge para
, então o limite de
também é
. Então, podemos escrever a equação do limite a partir da definição da sequência:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador, temos:
Passo 5
Reorganizando a equação para ter zero de um lado:
Esta é uma equação quadrática na forma
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante
:
Então,
Como estamos lidando com termos positivos da sequência (pois
é positivo e
é uma fração positiva), descartamos a solução negativa. Portanto:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Valor presente Quanto deveria ser depositado em uma conta que rende
de juros capitalizados mensalmente para se obter um saldo de $
três anos?
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.
Verifique que
é uma solução da equação
, mas que
não é solução.