Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. integral0^+infty x^2 exp (a x) d x, a>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria converge ou diverge, sendo . Vamos usar cálculo integral e analisar o comportamento da função dentro dos limites de integração, especialmente no infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e .

Passo 3

Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher e . Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando:
du = 2x , dx
v = integral e^a x , dx = e^a xa
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^a x , dx = x^2 cdot e^a xa - integral e^a xa cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 e^a xa - 2a integral x e^a x , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos e .

Passo 7

Calculando:
du = dx
v = e^a xa
Então:
integral x e^a x , dx = x cdot e^a xa - integral e^a xa , dx
Simplificando:
= x e^a xa - 1a cdot e^a xa + C = x e^a xa - e^a xa^2 + C

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 e^a x , dx = x^2 e^a xa - 2a ( x e^a xa - e^a xa^2 ) + C
Distribuindo:
= x^2 e^a xa - 2x e^a xa^2 + 2 e^a xa^3 + C

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a [ x^2 e^a xa - 2x e^a xa^2 + 2 e^a xa^3 ]0^+infty :

Passo 10

Analisando o comportamento no infinito:
  • x^2 e^a xa to +infty cresce exponencialmente.
  • Mesmo multiplicado por polinômios como 2x e^a xa^2 to +infty ou 2 e^a xa^3 to +infty , o termo domina e tende a .
No limite quando :
Portanto, a expressão inteira tende a .

Passo 11

No limite inferior, quando 0^2 e^0a - 2 cdot 0 cdot e^0a^2 + 2 e^0a^3 = 0 - 0 + 2a^3 = 2a^3 :

Passo 12

Subtraindo os limites:
+infty - 2a^3 = +infty
Isso significa que a integral tende ao infinito.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge.

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