Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge, sendo
. Vamos usar cálculo integral e analisar o comportamento da função dentro dos limites de integração, especialmente no infinito.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como
e
.
Passo 3
Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher
e
. Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos
e
.
Passo 7
Calculando:
Então:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo:
Passo 9
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a
:
Passo 10
Analisando o comportamento no infinito:
-
cresce exponencialmente. - Mesmo multiplicado por polinômios como
ou , o termo domina e tende a .
No limite quando
:
Portanto, a expressão inteira tende a
.
Passo 11
No limite inferior, quando
:
Passo 12
Subtraindo os limites:
Isso significa que a integral tende ao infinito.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não converge.
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Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Verifique que
é uma solução da equação
, mas que
não é solução.
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.