Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria converge ou diverge, sendo . Vamos usar cálculo integral e analisar o comportamento da função dentro dos limites de integração, especialmente no infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e .

Passo 3

Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher e . Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos e .

Passo 7

Calculando:
Então:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo:

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a :

Passo 10

Analisando o comportamento no infinito:
  • cresce exponencialmente.
  • Mesmo multiplicado por polinômios como ou , o termo domina e tende a .
No limite quando :
Portanto, a expressão inteira tende a .

Passo 11

No limite inferior, quando :

Passo 12

Subtraindo os limites:
Isso significa que a integral tende ao infinito.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge.

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Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .