Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por
e, para cada próximo termo,
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge e descobrir qual é o valor para o qual ela vai chegar, ou seja, o seu limite.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências convergentes e limites de sequências, que são partes da matéria de Análise Matemática. Vamos passo a passo entender como funciona essa sequência e por que ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de
. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Então, nosso objetivo é encontrar esse
.
Passo 3
Assumimos que a sequência
converge para algum limite
. Se a sequência está convergindo, então tanto
quanto
vão nos aproximar de
quando
se torna muito grande. Portanto, podemos substituir
e
por
na relação de recorrência:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração, temos:
Que simplifica para:
Passo 5
Organizando a equação, temos uma equação quadrática:
Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 6
Precisamos determinar qual desses valores é o limite da nossa sequência. Para isso, analisamos o comportamento inicial da sequência:
- Começamos com
- Calculando
- Calculando
- Calculando
- E assim por diante…
Percebe-se que os termos estão aumentando e se aproximando de um valor maior. Observando os valores de
e
, vemos que
é maior que
. Como nossa sequência está aumentando a partir de
, o limite lógico é
.
Resposta
A sequência
converge para
.