Dada as seqüências abaixo: x_n, n pertence a N dada por: x1=1, xn+1=3-1/xn. Mostre que: x_n, n pertence a N é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por e, para cada próximo termo, . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge e descobrir qual é o valor para o qual ela vai chegar, ou seja, o seu limite.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências convergentes e limites de sequências, que são partes da matéria de Análise Matemática. Vamos passo a passo entender como funciona essa sequência e por que ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergente. Uma sequência converge para um limite L se, à medida que n cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de L. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Então, nosso objetivo é encontrar esse L.

Passo 3

Assumimos que a sequência converge para algum limite L. Se a sequência está convergindo, então tanto quanto x_n+1 vão nos aproximar de L quando n se torna muito grande. Portanto, podemos substituir e x_n+1 por L na relação de recorrência:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar L. Multiplicando ambos os lados por L para eliminar a fração, temos:
Que simplifica para:

Passo 5

Organizando a equação, temos uma equação quadrática:
Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 6

Precisamos determinar qual desses valores é o limite da nossa sequência. Para isso, analisamos o comportamento inicial da sequência:
  • Começamos com
  • Calculando
  • Calculando
  • Calculando
  • E assim por diante…
Percebe-se que os termos estão aumentando e se aproximando de um valor maior. Observando os valores de e , vemos que é maior que . Como nossa sequência está aumentando a partir de , o limite lógico é .

Resposta

A sequência x_n converge para .

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