Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
usando a Transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace, que nos ajudam a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação resultante no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que
e
, onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 4
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de
:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 7
Para facilitar a inversa da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador quadrático
. Completando o quadrado:
Então:
Passo 8
Vamos decompor a fração em partes parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para simplificar, vamos escolher valores de
que facilitem os cálculos.
Primeiro, com
:
Agora, expandindo a equação:
Multiplicando tudo por 10 para eliminar a fração:
Igualando os coeficientes, podemos resolver para
e
. Após os cálculos, encontramos
e
.
Passo 10
Substituindo os valores encontrados na decomposição:
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Para
, sabemos que
, então:
Para
, lembramos que
. Aqui,
e
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Nos Exercícios 11-14, esboce o gráfico da funçāo.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é limitada superiormente.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é limitada superiormente ou inferiormente.
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.