Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial
y'' - 8y' + 25y = e^(3t) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e usando a Transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace, que nos ajudam a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação resultante no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que e , onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 4

Simplificando os termos:
Agrupando os termos de :

Passo 5

Isolando :

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 7

Para facilitar a inversa da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador quadrático . Completando o quadrado:
Então:

Passo 8

Vamos decompor a fração em partes parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para simplificar, vamos escolher valores de que facilitem os cálculos.
Primeiro, com :
Agora, expandindo a equação:
Multiplicando tudo por 10 para eliminar a fração:
Igualando os coeficientes, podemos resolver para e . Após os cálculos, encontramos e .

Passo 10

Substituindo os valores encontrados na decomposição:

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Para , sabemos que , então:
Para , lembramos que . Aqui, e , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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