Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é limitada superiormente ou inferiormente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A sequência é dada por:
O objetivo é mostrar que essa sequência é delimitada, ou seja, que ela não cresce indefinidamente. Mais especificamente, queremos provar que ela é limitada superiormente (tem um teto) ou limitada inferiormente (tem um chão). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências numéricas e suas propriedades de limitação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta. Começando com :
Agora, :
Continuando:
E mais um:
Observando esses termos, a sequência está oscilando entre valores positivos e negativos e parece estar crescendo em magnitude.

Passo 3

Agora, vamos analisar se a sequência pode ser limitada em alguma direção. Para isso, precisamos entender o comportamento geral da fórmula de recorrência:
Rearranjando a equação para isolar :
Isso sugere que, se for constante, a sequência pode não ser limitada. Além disso, observando os termos calculados, vemos que a magnitude dos termos está aumentando:
Isso indica que a sequência não está se mantendo dentro de limites fixos e, ao contrário, está alternando entre valores cada vez maiores e menores.

Passo 4

Para confirmar se a sequência é ou não limitada, supomos o contrário: que existe um limite superior ou inferior que todos os termos da sequência não ultrapassam. No entanto, como vimos nos cálculos anteriores, os termos estão aumentando em magnitude sem um padrão de contenção, o que sugere que a sequência não possui um limite superior ou inferior fixo.

Resposta

A sequência não é limitada superiormente nem inferiormente, pois seus termos crescem em magnitude sem restrições fixas.

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