Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é crescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
e
, onde
. A missão aqui é mostrar que essa sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior. Para resolver isso, vamos usar indução matemática e entender um pouco sobre sequências recursivas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é o primeiro passo da indução. Queremos ver se o segundo termo da sequência é maior que o primeiro.
Calculando
:
Como
, sabemos que
, ou seja,
. Então, o caso base está comprovado.
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. Suponha que, para algum
, o termo
seja maior que
(isto é,
). Precisamos mostrar que isso implica que
.
Observamos que a função
é crescente porque a derivada
é positiva para
e
. Então, se
, aplicando a função
a ambos os lados, temos:
Isso confirma que, se a sequência é crescente até o termo
, ela continua sendo crescente no passo seguinte.
Resposta
Portanto, por indução matemática, concluímos que a sequência
é crescente.