Dada as seqüências abaixo: x_n, n pertence a N dada por: x1 = raiz(a), xn+1 = raiz(a xn), a > 1. Mostre que: x_n, n pertence a N é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por e , onde . A missão aqui é mostrar que essa sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior. Para resolver isso, vamos usar indução matemática e entender um pouco sobre sequências recursivas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é o primeiro passo da indução. Queremos ver se o segundo termo da sequência é maior que o primeiro.
Calculando :
Como , sabemos que , ou seja, . Então, o caso base está comprovado.

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. Suponha que, para algum , o termo seja maior que (isto é, ). Precisamos mostrar que isso implica que .
Observamos que a função é crescente porque a derivada é positiva para e . Então, se , aplicando a função a ambos os lados, temos:
Isso confirma que, se a sequência é crescente até o termo , ela continua sendo crescente no passo seguinte.

Resposta

Portanto, por indução matemática, concluímos que a sequência é crescente.

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