Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é limitada superiormente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência
definida por
e
. A tarefa é mostrar que essa sequência é limitada superiormente. Isso significa que existe um número que serve como “teto” para todos os termos da sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos sobre sequências recorrentes e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar descobrir se a sequência converge para algum limite
. Se sim, esse
pode nos ajudar a encontrar a limitação superior.
Assumimos que
. Então, tomando o limite na relação de recorrência:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Como estamos lidando com termos positivos na sequência, descartamos a solução negativa:
Passo 4
Agora que temos um candidato para o limite, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente e se está limitada.
Calculando alguns termos:
Parece que a sequência está aumentando e se aproximando de
.
Passo 5
Para garantir que a sequência é limitada acima, consideramos
. Vamos mostrar que para todo
,
.
Assumindo
, então:
Substituindo
:
Portanto,
, confirmando que
é uma limitação superior.
Resposta
A sequência
é limitada superiormente por
aproximadamente igual a 2,618.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da seguinte função:
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.
Nos Exercícios 11-14, esboce o gráfico da funçāo.
Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial
.