Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é limitada superiormente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência definida por e . A tarefa é mostrar que essa sequência é limitada superiormente. Isso significa que existe um número que serve como “teto” para todos os termos da sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos sobre sequências recorrentes e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar descobrir se a sequência converge para algum limite . Se sim, esse pode nos ajudar a encontrar a limitação superior.
Assumimos que . Então, tomando o limite na relação de recorrência:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Como estamos lidando com termos positivos na sequência, descartamos a solução negativa:

Passo 4

Agora que temos um candidato para o limite, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente e se está limitada.
Calculando alguns termos:
Parece que a sequência está aumentando e se aproximando de .

Passo 5

Para garantir que a sequência é limitada acima, consideramos . Vamos mostrar que para todo , .
Assumindo , então:
Substituindo :
Portanto, , confirmando que é uma limitação superior.

Resposta

A sequência é limitada superiormente por aproximadamente igual a 2,618.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da seguinte função:
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .
Nos Exercícios 11-14, esboce o gráfico da funçāo.
Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial
.