Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral imprópria para resolver: , onde . O conteúdo que vamos precisar envolve integrais impróprias e técnicas de substituição para resolver integrais que têm potências fracionárias. A gente vai precisar entender por que essa integral é imprópria e como calcular o limite necessário para determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é classificada como imprópria. Olhando para a função , percebemos que no denominador temos uma raiz quadrada. Essa raiz se torna zero quando , o que faz com que a função “explode”, ou seja, tende ao infinito. Como o limite superior da integral é , isso significa que está dentro do intervalo de integração, tornando a integral imprópria.

Passo 3

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão. Vamos usar a substituição . Com isso, e a expressão dentro da raiz fica:
Então, a integral original se transforma em:
Isso simplifica bastante!

Passo 4

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração após a substituição. Quando :
E quando :
Como , , mas o seno não pode ser maior que 1. Isso indica que a substituição física não é válida para , confirmando que a integral diverge nesse caso.

Passo 5

Contudo, para completar a análise, vamos considerar o limite da integral quando se aproxima de por valores menores, já que o ponto é onde ocorre a descontinuidade. A integral se torna:
Fazendo a substituição trigonométrica como antes, essa integral se transforma em:
À medida que se aproxima de , a integral tende a infinito. Portanto, a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral imprópria diverge.

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