Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias.
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral imprópria para resolver:
, onde
. O conteúdo que vamos precisar envolve integrais impróprias e técnicas de substituição para resolver integrais que têm potências fracionárias. A gente vai precisar entender por que essa integral é imprópria e como calcular o limite necessário para determinar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é classificada como imprópria. Olhando para a função
, percebemos que no denominador temos uma raiz quadrada. Essa raiz se torna zero quando
, o que faz com que a função “explode”, ou seja, tende ao infinito. Como o limite superior da integral é
, isso significa que
está dentro do intervalo de integração, tornando a integral imprópria.
Passo 3
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão. Vamos usar a substituição
. Com isso,
e a expressão dentro da raiz fica:
Então, a integral original se transforma em:
Isso simplifica bastante!
Passo 4
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração após a substituição. Quando
:
E quando
:
Como
,
, mas o seno não pode ser maior que 1. Isso indica que a substituição física não é válida para
, confirmando que a integral diverge nesse caso.
Passo 5
Contudo, para completar a análise, vamos considerar o limite da integral quando
se aproxima de
por valores menores, já que o ponto
é onde ocorre a descontinuidade. A integral se torna:
Fazendo a substituição trigonométrica como antes, essa integral se transforma em:
À medida que
se aproxima de
, a integral tende a infinito. Portanto, a integral imprópria diverge.
Resposta
A integral imprópria
diverge.
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Calcule a derivada da seguinte função:
Seja
. Prove ou refute que existe um campo vetorial
, com as seguintes propriedades:
-
tem derivadas parciais contínuas para todo ; -
, para todo ; -
.
Calcule a derivada da seguinte função:
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é limitada superiormente.