Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e .
Para isso, vamos precisar lembrar como a Transformada de Laplace lida com derivadas e como aplicar as condições iniciais nessa transformação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
Aplicando isso na equação:
Ficando:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar :
Então:

Passo 5

Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador:
Então, temos:
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, encontramos e :
Para :
Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule a derivada da seguinte função:
Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é convergente e calcule o seu limite.
Calcule, caso existam, o limite das seguintes seqüências: dada por: .
Calcule a derivada da seguinte função: