Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais
e
.
Para isso, vamos precisar lembrar como a Transformada de Laplace lida com derivadas e como aplicar as condições iniciais nessa transformação.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
Aplicando isso na equação:
Ficando:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar
:
Então:
Passo 5
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador:
Então, temos:
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, encontramos
e
:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule a derivada da seguinte função:
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Calcule, caso existam, o limite das seguintes seqüências:
dada por:
.
Calcule a derivada da seguinte função: