Use Transformada de Laplace e resolva os problemas de valor inicial
y'' - 4y' - 12y = 0 ; y(0) = 8, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e .
Para isso, vamos precisar lembrar como a Transformada de Laplace lida com derivadas e como aplicar as condições iniciais nessa transformação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
Aplicando isso na equação:
Ficando:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar :
Então:

Passo 5

Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador:
Então, temos:
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, encontramos e :
Para :
Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados