Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral imprópria converge ou diverge, onde e são maiores que zero. Para isso, vamos resolver a integral e analisar o comportamento dela quando o limite superior vai para infinito. Vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente integração por partes ou métodos para integrar produtos de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função da forma , podemos usar a seguinte fórmula:
Essa fórmula vem da aplicação da integração por partes ou da resolução de uma equação diferencial. Vamos usar ela para encontrar a antiderivada da nossa função.

Passo 3

Aplicando a fórmula na nossa integral, temos:
Agora, para avaliar a integral definida de 0 a , substituímos os limites:

Passo 4

Vamos calcular agora nos limites e :
Para :
Para :

Passo 5

Subtraindo os valores nos limites, temos:
Agora, para verificar a convergência da integral imprópria, precisamos analisar o limite quando tende a infinito.

Passo 6

Vamos calcular o limite quando :
Observamos que cresce exponencialmente para como . Além disso, e oscilam entre -1 e 1. Assim, o termo também cresce sem limites, já que está multiplicando um termo que cresce exponencialmente por funções limitadas.

Passo 7

Portanto, o limite da integral conforme é infinita:
Isso significa que a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados

Verifique que é uma solução da equação , mas que não é solução.
Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .
Verifique se e formam um conjunto fundamental de soluções da equação . E , determine a solução geral.
Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é limitada superiormente.