Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral imprópria converge ou diverge, onde e são maiores que zero. Para isso, vamos resolver a integral e analisar o comportamento dela quando o limite superior vai para infinito. Vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente integração por partes ou métodos para integrar produtos de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função da forma , podemos usar a seguinte fórmula:
Essa fórmula vem da aplicação da integração por partes ou da resolução de uma equação diferencial. Vamos usar ela para encontrar a antiderivada da nossa função.
Passo 3
Aplicando a fórmula na nossa integral, temos:
Agora, para avaliar a integral definida de 0 a , substituímos os limites:
Passo 4
Vamos calcular agora nos limites e^a Ca^2 + b^2 (a sin(b C) - b cos(b C)) e e^0a^2 + b^2 (a sin(0) - b cos(0)) = 1a^2 + b^2 (0 - b cdot 1) = -ba^2 + b^2 :
Para :
Para :
Passo 5
Subtraindo os valores nos limites, temos:
integral0^C e^a x sin(b x) , dx = e^a Ca^2 + b^2 (a sin(b C) - b cos(b C)) + ba^2 + b^2
Agora, para verificar a convergência da integral imprópria, precisamos analisar o limite quando tende a infinito.
Passo 6
Vamos calcular o limite quando limC to +infty [ e^a Ca^2 + b^2 (a sin(b C) - b cos(b C)) + ba^2 + b^2 ] :
Observamos que cresce exponencialmente para como . Além disso, e oscilam entre -1 e 1. Assim, o termo também cresce sem limites, já que está multiplicando um termo que cresce exponencialmente por funções limitadas.
Passo 7
Portanto, o limite da integral conforme limC to +infty integral0^C e^a x sin(b x) , dx = +infty é infinita: