Verifique, resolvendo a integral e calculando o limite necessário, a convergência ou divergência das seguintes Integrais Impróprias. integral0^+infty exp (a x) sin (b x) d x, a, b>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral imprópria converge ou diverge, onde e são maiores que zero. Para isso, vamos resolver a integral e analisar o comportamento dela quando o limite superior vai para infinito. Vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente integração por partes ou métodos para integrar produtos de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função da forma integral e^a x sin(b x) , dx = e^a xa^2 + b^2 (a sin(b x) - b cos(b x)) + C , podemos usar a seguinte fórmula:
Essa fórmula vem da aplicação da integração por partes ou da resolução de uma equação diferencial. Vamos usar ela para encontrar a antiderivada da nossa função.

Passo 3

Aplicando a fórmula na nossa integral, temos:
integral e^a x sin(b x) , dx = e^a xa^2 + b^2 (a sin(b x) - b cos(b x)) + C
Agora, para avaliar a integral definida de 0 a integral0^C e^a x sin(b x) , dx = e^a xa^2 + b^2 (a sin(b x) - b cos(b x)) |0^C , substituímos os limites:

Passo 4

Vamos calcular agora nos limites e^a Ca^2 + b^2 (a sin(b C) - b cos(b C)) e e^0a^2 + b^2 (a sin(0) - b cos(0)) = 1a^2 + b^2 (0 - b cdot 1) = -ba^2 + b^2 :
Para :
Para :

Passo 5

Subtraindo os valores nos limites, temos:
integral0^C e^a x sin(b x) , dx = e^a Ca^2 + b^2 (a sin(b C) - b cos(b C)) + ba^2 + b^2
Agora, para verificar a convergência da integral imprópria, precisamos analisar o limite quando tende a infinito.

Passo 6

Vamos calcular o limite quando limC to +infty [ e^a Ca^2 + b^2 (a sin(b C) - b cos(b C)) + ba^2 + b^2 ] :
Observamos que cresce exponencialmente para como . Além disso, e oscilam entre -1 e 1. Assim, o termo também cresce sem limites, já que está multiplicando um termo que cresce exponencialmente por funções limitadas.

Passo 7

Portanto, o limite da integral conforme limC to +infty integral0^C e^a x sin(b x) , dx = +infty é infinita:
Isso significa que a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge.

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