Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar um conteúdo de Séries Numéricas, especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar analisar o comportamento geral dos termos da série quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para entender melhor o que está acontecendo. Olha só o numerador e o denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Quando
fica grande, os termos de maior grau dominam. Então, no numerador,
é o que mais importa, e no denominador,
é o rei. Vamos simplificar considerando apenas esses termos principais.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador:
Quando
é grande,
aproxima-se de 1, então:
Portanto, o denominador principal é
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão da série com as aproximações que fizemos:
Então, para
grande, o termo geral da série se comporta como
.
Passo 5
Vamos lembrar do Teste da Comparação: se compararmos nossa série com
, sabemos que essa série converge se
e diverge se
.
No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 6
Como o termo geral da nossa série original, para
grande, é aproximadamente
, e essa série comparativa converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Dada uma série convergente
, com soma
e reduzida
, prove que seu resto
é a soma da série a partir do índice
. (A diferença
é chamada o resto de ordem
da série).
Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
a)
a)
Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
f)
f)