Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
e) sumn=1^infty(n^2-23 n+94 n^3 raizn+7-2 n+cos ^3(n^2))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa verificar se a série
sumn=1^infty(n^2-23 n+94 n^3 raizn+7-2 n+cos^3(n^2))
converge ou diverge. Para isso, vamos usar um conteúdo de Séries Numéricas, especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar analisar o comportamento geral dos termos da série quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para entender melhor o que está acontecendo. Olha só o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Quando fica grande, os termos de maior grau dominam. Então, no numerador, é o que mais importa, e no denominador, é o rei. Vamos simplificar considerando apenas esses termos principais.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador:
4n^3raizn+7 = 4n^3 cdot raizn(1 + 7n) = 4n^3 cdot raizn cdot raiz1 + 7n
Quando 4n^3raizn+7 approx 4n^3 cdot raizn = 4n^3 cdot n^1/2 = 4n^7/2 é grande, aproxima-se de 1, então:
Portanto, o denominador principal é .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão da série com as aproximações que fizemos:
n^24n^7/2 = 14 cdot n^2n^7/2 = 14 cdot 1n^3/2
Então, para grande, o termo geral da série se comporta como .

Passo 5

Vamos lembrar do Teste da Comparação: se compararmos nossa série com , sabemos que essa série converge se e diverge se .
No nosso caso, , então a série converge.

Passo 6

Como o termo geral da nossa série original, para grande, é aproximadamente , e essa série comparativa converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Dada uma série convergente sum a n, com soma S e reduzida S n, prove que seu resto R n é a soma da série a partir do índice n+1. (A diferença R n=S-S n é chamada o resto de ordem n da série).
Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite. a_j = 3^(j+2) / 5^(j)
Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
a) sumn=1^infty cos (3 n)n^2+1
Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
f) sumn=1^infty 2^n cdot n!(1-cos (n^2))2 cdot 5.8 ldots(3 n-1)