Dada a série de potências sumk=0^infty (x-5)^k3^k. Utilize o Teste da Razão para Convergência Absoluta para determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências dada por:
sumk=0^infty (x-5)^k3^k
O objetivo aqui é usar o Teste da Razão para descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso vai nos dizer para quais valores de a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série apresenta convergência absoluta. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Nas nossas séries de potências, o termo geral ak = (x-5)^k3^k é:
ak+1 = (x-5)^k+13^k+1
Então, vamos calcular ak+1ak = (x-5)^k+13^k+1(x-5)^k3^k = (x-5)^k+13^k+1 times 3^k(x-5)^k = (x-5)3 :
Agora, vamos montar a razão :

Passo 4

Agora, aplicamos o módulo e o limite:
L = limk to infty | ak+1ak | = | x-53 |
Para a série convergir, precisamos que | x-53 | < 1 :

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de | x-53 | < 1 Rightarrow |x - 5| < 3 :
Isso significa que está a menos de 3 unidades de 5 na reta numérica.

Passo 6

Agora, vamos escrever isso como uma desigualdade:
-3 < x - 5 < 3
Adicionando 5 em todas as partes para isolar 2 < x < 8 :

Passo 7

Então, o raio de convergência é 3, e o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Resolva os itens abaixo:
ii) Dadas as séries abaixo, escreva o tipo de série e seu comportamento, ou seja, converge ou diverge.
a) sumk=1^infty 1k
b) sumk=1^infty 1k^3 / 7
c) sumk=1^infty (-1)^k+1k
d) sumk=1^infty 1k^7
lim x infty x^3+2 x^2+13 x^3-4 x^2+2
Discuta a diferença entre limites laterais e o limite no ponto em questão. Dê exemplos que ilustrem essa diferença.
Discuta o significado do limite quando x se aproxima de um ponto de descontinuidade removível. Dê um exemplo.