Discuta o significado do limite quando
se aproxima de um ponto de descontinuidade removível. Dê um exemplo.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente discutir o que significa o limite quando
se aproxima de um ponto onde a função tem uma descontinuidade removível. Além disso, precisamos dar um exemplo disso. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de limites e tipos de descontinuidades em funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade removível. Imagine que você tem um gráfico de uma função que tem um “buraco” em um ponto específico, mas, se você preencher esse buraco, a função ficaria contínua. Esse tipo de descontinuidade é chamado de removível porque podemos “remover” a descontinuidade ajustando o valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, sobre o limite. O limite de uma função
quando
se aproxima de um ponto
é o valor que
está se aproximando conforme
chega perto de
, independentemente do que acontece exatamente em
.
Passo 4
Em um ponto de descontinuidade removível, o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual a esse valor que podemos definir para
para tornar a função contínua. Ou seja, mesmo que a função não esteja definida ou tenha um valor diferente em
, o limite nos diz qual valor faria tudo se encaixar perfeitamente.
Passo 5
Vamos a um exemplo prático. Considere a função:
Passo 6
Se simplificarmos a expressão para
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Passo 8
Observamos que o limite quando
se aproxima de 1 é 2, que é exatamente o valor definido para
. Portanto, a descontinuidade em
é removível porque podemos redefinir
para 2 e a função fica contínua.
Resposta
O limite de uma função quando
se aproxima de um ponto de descontinuidade removível existe e iguala-se ao valor que a função pode assumir nesse ponto para tornar-se contínua. Por exemplo, na função
para
e
, o limite quando
se aproxima de 1 é 2, removendo assim a descontinuidade.
Exercícios relacionados
Discuta a diferença entre limites laterais e o limite no ponto em questão. Dê exemplos que ilustrem essa diferença.
Dada a série de potências
. Utilize o Teste da Razão para Convergência Absoluta para determinar o raio e o intervalo de convergência.
Resolva os itens abaixo.
i) Use o Teste de Comparação no Limite para verificar se a série converge: .
i) Use o Teste de Comparação no Limite para verificar se a série converge:
Seja
o volume do sólido
no semi-espaço
delimitado pelo cilindro
, pelo cilindro
e pelo plano
. Então
vale
Escolha uma opção:
8
6
1
12
Escolha uma opção:
8
6
1
12