Resolva os itens abaixo:
ii) Dadas as séries abaixo, escreva o tipo de série e seu comportamento, ou seja, converge ou diverge.
a)
b)
c)
d)
ii) Dadas as séries abaixo, escreva o tipo de série e seu comportamento, ou seja, converge ou diverge.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar quatro séries diferentes e dizer de que tipo elas são e se elas convergem ou divergem. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries matemáticas, como séries p e séries alternadas, além de aplicar testes de convergência como o teste da série p e o teste da série alternada.
Passo 2
a)
Primeiro, essa série é conhecida como série harmônica. Ela é um exemplo clássico de uma série p, onde a fórmula geral é
.
No teste da série p, se
, a série converge; se
, ela diverge. Aqui,
, então, de acordo com o teste, essa série diverge.
Passo 3
b)
Essa também é uma série p, com
.
Aplicando o teste da série p: como
, a série diverge.
Passo 4
c)
Essa é uma série alternada, porque os termos mudam de sinal alternadamente devido ao
.
Para séries alternadas, usamos o teste da série alternada, que diz que a série converge se:
- Os termos em módulo diminuem monotonamente.
- O limite dos termos em módulo é zero.
Aqui,
diminui quando
aumenta e o limite quando
tende ao infinito é zero. Então, essa série converge.
Passo 5
d)
Mais uma vez, temos uma série p, com
.
Usando o teste da série p: como
, a série converge.
Resposta
a) Série harmônica, diverge.
b) Série p com
, diverge.
c) Série alternada, converge.
d) Série p com
, converge.
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quando
.
Dada a série de potências
. Utilize o Teste da Razão para Convergência Absoluta para determinar o raio e o intervalo de convergência.
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