Resolva os itens abaixo:
ii) Dadas as séries abaixo, escreva o tipo de série e seu comportamento, ou seja, converge ou diverge.
a) sumk=1^infty 1k
b) sumk=1^infty 1k^3 / 7
c) sumk=1^infty (-1)^k+1k
d) sumk=1^infty 1k^7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar quatro séries diferentes e dizer de que tipo elas são e se elas convergem ou divergem. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries matemáticas, como séries p e séries alternadas, além de aplicar testes de convergência como o teste da série p e o teste da série alternada.

Passo 2

a)

Primeiro, essa série é conhecida como série harmônica. Ela é um exemplo clássico de uma série p, onde a fórmula geral é .
No teste da série p, se , a série converge; se , ela diverge. Aqui, , então, de acordo com o teste, essa série diverge.

Passo 3

b)

Essa também é uma série p, com .
Aplicando o teste da série p: como , a série diverge.

Passo 4

c)

Essa é uma série alternada, porque os termos mudam de sinal alternadamente devido ao .
Para séries alternadas, usamos o teste da série alternada, que diz que a série converge se:
  1. Os termos em módulo diminuem monotonamente.
  2. O limite dos termos em módulo é zero.
Aqui, diminui quando aumenta e o limite quando tende ao infinito é zero. Então, essa série converge.

Passo 5

d)

Mais uma vez, temos uma série p, com .
Usando o teste da série p: como , a série converge.

Resposta

a) Série harmônica, diverge.
b) Série p com , diverge.
c) Série alternada, converge.
d) Série p com , converge.

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