Expresse a função
em série de potências de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer expressar a função
em uma série de potências centrada em
. Isso significa que vamos expandir essa função em termos de
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de Séries de Potências e Série de Taylor, que nos ajudam a escrever funções como somas infinitas de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a parte exponencial da função
de uma forma que facilite a expansão em torno de
. Podemos fazer isso assim:
Aqui, separei
em
, o que vai nos ajudar a expandir
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para
em torno de
:
Nesse caso, nosso
é
. Então, substituindo, temos:
Passo 4
Agora, vamos juntar as peças. Lembrando que
, substituímos a série que acabamos de encontrar:
Passo 5
A função que queremos expandir é
. Vamos substituir a expressão para
que encontramos:
Podemos arrumar isso como:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão combinando os termos de
:
Se quisermos, podemos reindexar a soma começando de
:
Resposta
A série de potências de
centrada em
é:
Ou, reindexando a soma:
Exercícios relacionados
Encontre a série de Taylor centrada em
da função
especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série geométrica, efetue derivação e substituição).
Dada a série de potências
, determine os valores de
para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Sejam
e
e
e
. Verifique que a área de
é igual à área de
.