Dada a série sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n. (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá uma série infinita da forma . O conteúdo aqui é de séries infinitas, especificamente testes de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão e o Teste da Raiz, além de entender como eles funcionam.

Passo 2

Parte (a): Teste da Razão
O Teste da Razão envolve calcular o limite an+1an = 1/2^n+2+(-1)^n+11/2^n+1+(-1)^n = 2^n+1+(-1)^n - (n+2+(-1)^n+1) = 2^-1 + (-1)^n - (-1)^n+1 .
Vamos calcular isso para nossa série.
Calculando 2^-1 + (-1)^n - (-1)^n+1 = 2^-1 + (-1)^n + (-1)^n = 2^-1 + 2(-1)^n :
2^-1 + 2(1) = 2^1 = 2
Calculando 2^-1 + 2(-1) = 2^-3 = 18 :
Agora, calculamos a razão:
Simplificando:
Agora, dependendo de ser par ou ímpar:
  • Se for par, :
  • Se for ímpar, :
Isso significa que o limite depende se é par ou ímpar, ou seja, não existe um único limite.

Passo 3

Como o limite não converge para um único valor, o Teste da Razão não nos dá uma conclusão definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Portanto, o Teste da Razão falha para essa série.

Passo 4

Parte (b): Teste da Raiz
O Teste da Raiz envolve calcular o limite raiz[n]12^n+1+(-1)^n = 12^n+1+(-1)^nn = 2^-(1 + 1 + (-1)^nn) .
Vamos aplicar isso na nossa série.
Calculando limn to infty 2^-(1 + 1 + (-1)^nn) = 2^-1 = 12 :
Agora, vamos calcular o limite:
O Teste da Raiz nos diz que se esse limite , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

(a) O teste da razão falha para essa série.
(b) Pelo teste da raiz, a série é convergente.

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