Dada a série . (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos dá uma série infinita da forma . O conteúdo aqui é de séries infinitas, especificamente testes de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão e o Teste da Raiz, além de entender como eles funcionam.
Isso significa que o limite depende se é par ou ímpar, ou seja, não existe um único limite.
Passo 3
Como o limite não converge para um único valor, o Teste da Razão não nos dá uma conclusão definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Portanto, o Teste da Razão falha para essa série.
Passo 4
Parte (b): Teste da Raiz
O Teste da Raiz envolve calcular o limite raiz[n]12^n+1+(-1)^n = 12^n+1+(-1)^nn = 2^-(1 + 1 + (-1)^nn) .