Dada a série . (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá uma série infinita da forma . O conteúdo aqui é de séries infinitas, especificamente testes de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão e o Teste da Raiz, além de entender como eles funcionam.

Passo 2

Parte (a): Teste da Razão
O Teste da Razão envolve calcular o limite .
Vamos calcular isso para nossa série.
Calculando :
Calculando :
Agora, calculamos a razão:
Simplificando:
Agora, dependendo de ser par ou ímpar:
  • Se for par, :
  • Se for ímpar, :
Isso significa que o limite depende se é par ou ímpar, ou seja, não existe um único limite.

Passo 3

Como o limite não converge para um único valor, o Teste da Razão não nos dá uma conclusão definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Portanto, o Teste da Razão falha para essa série.

Passo 4

Parte (b): Teste da Raiz
O Teste da Raiz envolve calcular o limite .
Vamos aplicar isso na nossa série.
Calculando :
Agora, vamos calcular o limite:
O Teste da Raiz nos diz que se esse limite , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

(a) O teste da razão falha para essa série.
(b) Pelo teste da raiz, a série é convergente.

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