Prove a parte (i) do teste da raiz (Teorema 12.8.5). (Sugestäo: como L < 1, seja R um número tal que L < R < 1 e seja R - L = epsilon < 1. Mostre que existe um inteiro N tal que se n > N, entâo |u_n| < R^n. Em seguida, use circ teste de comparação.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a parte (i) do Teste da Raiz (Teorema 12.8.5). Esse teste é uma ferramenta usada para determinar se uma série infinita converge ou diverge, analisando o comportamento dos termos da série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, séries geométricas e o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Queremos escolher um número que esteja entre e 1. Isso significa que . Vamos definir a diferença entre e como , ou seja, .

Passo 3

Agora, com essa definição de e , precisamos mostrar que existe um número inteiro tal que, para todo , a seguinte desigualdade vale:
Isso significa que, após um certo ponto na série, os termos ficam menores que .

Passo 4

Para encontrar esse , vamos usar a definição de limite superior. Como , para todo , existe um tal que, para todo :
Escolhendo , temos:
Elevando ambos os lados à potência , obtemos:
Portanto, existe um tal que para todo , .

Passo 5

Agora que estabelecemos que para , podemos usar o Teste de Comparação. Sabemos que a série geométrica converge porque . Como é menor que os termos dessa série convergente, pelo Teste de Comparação, a série também converge.

Resposta

Assim, provamos que se , então a série converge absolutamente pelo Teste da Raiz.

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