Prove a parte (i) do teste da raiz (Teorema 12.8.5). (Sugestäo: como
, seja
um número tal que
e seja
. Mostre que existe um inteiro
tal que se
, entâo
. Em seguida, use
teste de comparação.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a parte (i) do Teste da Raiz (Teorema 12.8.5). Esse teste é uma ferramenta usada para determinar se uma série infinita converge ou diverge, analisando o comportamento dos termos da série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, séries geométricas e o teste de comparação.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Queremos escolher um número
que esteja entre
e 1. Isso significa que
. Vamos definir a diferença entre
e
como
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, com essa definição de
e
, precisamos mostrar que existe um número inteiro
tal que, para todo
, a seguinte desigualdade vale:
Isso significa que, após um certo ponto na série, os termos
ficam menores que
.
Passo 4
Para encontrar esse
, vamos usar a definição de limite superior. Como
, para todo
, existe um
tal que, para todo
:
Escolhendo
, temos:
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos:
Portanto, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 5
Agora que estabelecemos que
para
, podemos usar o Teste de Comparação. Sabemos que a série geométrica
converge porque
. Como
é menor que os termos dessa série convergente, pelo Teste de Comparação, a série
também converge.
Resposta
Assim, provamos que se
, então a série
converge absolutamente pelo Teste da Raiz.