Prove a parte (i) do teste da raiz (Teorema 12.8.5). (Sugestäo: como , seja um número tal que e seja . Mostre que existe um inteiro tal que se , entâo . Em seguida, use teste de comparação.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a parte (i) do Teste da Raiz (Teorema 12.8.5). Esse teste é uma ferramenta usada para determinar se uma série infinita converge ou diverge, analisando o comportamento dos termos da série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, séries geométricas e o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Queremos escolher um número que esteja entre e 1. Isso significa que . Vamos definir a diferença entre e como , ou seja, .

Passo 3

Agora, com essa definição de e , precisamos mostrar que existe um número inteiro tal que, para todo , a seguinte desigualdade vale:
Isso significa que, após um certo ponto na série, os termos ficam menores que .

Passo 4

Para encontrar esse , vamos usar a definição de limite superior. Como , para todo , existe um tal que, para todo :
Escolhendo , temos:
Elevando ambos os lados à potência , obtemos:
Portanto, existe um tal que para todo , .

Passo 5

Agora que estabelecemos que para , podemos usar o Teste de Comparação. Sabemos que a série geométrica converge porque . Como é menor que os termos dessa série convergente, pelo Teste de Comparação, a série também converge.

Resposta

Assim, provamos que se , então a série converge absolutamente pelo Teste da Raiz.

Exercícios relacionados

Dada a série . (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Prove que se for absolutamente convergente, entâo será convergente.
Prove a parte (iii) do teste da raiz, aplicando-o às séries e , (Sugestäo: determine , expressando e usando a regra de L’Hôpital para achar .)
Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.