Prove a parte (iii) do teste da raiz, aplicando-o às séries sumn=1^+infty 1n e sumn=1^+infty 1n^2, (Sugestäo: determine lim n +infty raiz[n]n, expressando raiz[n]n=e^0 n n / n e usando a regra de L’Hôpital para achar lim n +infty ln nn.)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos provar a parte (iii) do Teste da Raiz aplicando-o nas séries e .
Conteúdo da matéria:
O Teste da Raiz é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para aplicá-lo, precisamos calcular o limite da raiz -ésima do termo geral da série quando tende ao infinito.
O que vamos precisar:
  • Entender como aplicar o Teste da Raiz.
  • Calcular limites envolvendo raízes -ésimas.
  • Utilizar a regra de L’Hôpital para resolver limites que envolvem funções logarítmicas.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Raiz na série L = limn to +infty raiz[n]an = limn to +infty raiz[n]1n = limn to +infty (1n)^1n = limn to +infty n^-1n .
Passo 2.1:
Identificamos o termo geral da série: limn to +infty n^1n = 1 .
Passo 2.2:
Aplicamos o Teste da Raiz:
L = 11 = 1
Passo 2.3:
Calculamos o limite:
Portanto,
Conclusão do Passo 2:
Como , o Teste da Raiz é inconclusivo para a série . No entanto, sabemos que essa é a famosa série harmônica, que diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz na série L = limn to +infty raiz[n]an = limn to +infty raiz[n]1n^2 = limn to +infty (1n^2)^1n = limn to +infty n^-2n .
Passo 3.1:
Identificamos o termo geral da série: limn to +infty n^2n = e^limn to +infty 2 ln nn .
Passo 3.2:
Aplicamos o Teste da Raiz:
limn to +infty 2 ln nn = limn to +infty 2/n1 = 0
Passo 3.3:
Calculamos o limite:
limn to +infty n^2n = e^0 = 1
Aplicando a regra de L’Hôpital:
L = 11 = 1
Portanto,
E assim,
Conclusão do Passo 3:
Novamente, como , o Teste da Raiz é inconclusivo para a série . Contudo, sabemos que essa é uma série p com , e como , a série converge.

Resposta

Após aplicar o Teste da Raiz, verificamos que ele é inconclusivo para ambas as séries. No entanto, sabemos que a série diverge e a série converge.

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