Prove a parte (iii) do teste da raiz, aplicando-o às séries e , (Sugestäo: determine , expressando e usando a regra de L’Hôpital para achar .)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos provar a parte (iii) do Teste da Raiz aplicando-o nas séries e .
Conteúdo da matéria:
O Teste da Raiz é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para aplicá-lo, precisamos calcular o limite da raiz -ésima do termo geral da série quando tende ao infinito.
O que vamos precisar:
  • Entender como aplicar o Teste da Raiz.
  • Calcular limites envolvendo raízes -ésimas.
  • Utilizar a regra de L’Hôpital para resolver limites que envolvem funções logarítmicas.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Raiz na série .
Passo 2.1:
Identificamos o termo geral da série: .
Passo 2.2:
Aplicamos o Teste da Raiz:
Passo 2.3:
Calculamos o limite:
Portanto,
Conclusão do Passo 2:
Como , o Teste da Raiz é inconclusivo para a série . No entanto, sabemos que essa é a famosa série harmônica, que diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz na série .
Passo 3.1:
Identificamos o termo geral da série: .
Passo 3.2:
Aplicamos o Teste da Raiz:
Passo 3.3:
Calculamos o limite:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Portanto,
E assim,
Conclusão do Passo 3:
Novamente, como , o Teste da Raiz é inconclusivo para a série . Contudo, sabemos que essa é uma série p com , e como , a série converge.

Resposta

Após aplicar o Teste da Raiz, verificamos que ele é inconclusivo para ambas as séries. No entanto, sabemos que a série diverge e a série converge.

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Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
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