Prove a parte (iii) do teste da raiz, aplicando-o às séries
e
, (Sugestäo: determine
, expressando
e usando a regra de L’Hôpital para achar
.)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos provar a parte (iii) do Teste da Raiz aplicando-o nas séries
e
.
Conteúdo da matéria:
O Teste da Raiz é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para aplicá-lo, precisamos calcular o limite da raiz -ésima do termo geral da série quando
tende ao infinito.
O Teste da Raiz é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para aplicá-lo, precisamos calcular o limite da raiz
O que vamos precisar:
- Entender como aplicar o Teste da Raiz.
- Calcular limites envolvendo raízes
-ésimas. - Utilizar a regra de L’Hôpital para resolver limites que envolvem funções logarítmicas.
Passo 2
Vamos começar aplicando o Teste da Raiz na série
.
Passo 2.1:
Identificamos o termo geral da série: .
Identificamos o termo geral da série:
Passo 2.2:
Aplicamos o Teste da Raiz:
Aplicamos o Teste da Raiz:
Passo 2.3:
Calculamos o limite:
Calculamos o limite:
Portanto,
Conclusão do Passo 2:
Como , o Teste da Raiz é inconclusivo para a série
. No entanto, sabemos que essa é a famosa série harmônica, que diverge.
Como
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz na série
.
Passo 3.1:
Identificamos o termo geral da série: .
Identificamos o termo geral da série:
Passo 3.2:
Aplicamos o Teste da Raiz:
Aplicamos o Teste da Raiz:
Passo 3.3:
Calculamos o limite:
Calculamos o limite:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Portanto,
E assim,
Conclusão do Passo 3:
Novamente, como , o Teste da Raiz é inconclusivo para a série
. Contudo, sabemos que essa é uma série p com
, e como
, a série converge.
Novamente, como
Resposta
Após aplicar o Teste da Raiz, verificamos que ele é inconclusivo para ambas as séries. No entanto, sabemos que a série
diverge e a série
converge.
Exercícios relacionados
Prove a parte (i) do teste da raiz (Teorema 12.8.5). (Sugestäo: como
, seja
um número tal que
e seja
. Mostre que existe um inteiro
tal que se
, entâo
. Em seguida, use
teste de comparação.)
Dada a série
. (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.