Prove que se
for absolutamente convergente, entâo
será convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que se a série
converge absolutamente, então a série
também converge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos,
, também converge. Isso é importante porque a convergência absoluta nos dá mais informações sobre a série original.
Passo 3
Sabemos que se
converge, então os termos
tendem a zero quando
tende ao infinito. Ou seja,
. Isso nos diz que os termos da série estão ficando cada vez menores.
Passo 4
Agora, queremos analisar a série
. Para isso, podemos usar o critério da comparação, que nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra que já sabemos se comporta bem.
Passo 5
Como
converge, os termos
são limitados. Ou seja, existe um número
tal que
para todo
. Isso nos dá uma forma de controlar os termos da nova série.
Passo 6
Observamos que
. Como
, então
. Portanto, cada termo da série
é menor ou igual a
vezes o termo correspondente de
.
Passo 7
Pela comparação direta, já que
converge e
, concluímos que
também converge. Isso segue do critério da comparação para séries convergentes.
Resposta
Portanto, se a série
é absolutamente convergente, então a série
também converge.
Exercícios relacionados
Se
, prove que a serrie
absolutamente convergente para todos os valores de
.
Prove que se
for absolutamente convergente e
para todo
, entâo
será divergente.
Dada a série
. (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Prove a parte (i) do teste da raiz (Teorema 12.8.5). (Sugestäo: como
, seja
um número tal que
e seja
. Mostre que existe um inteiro
tal que se
, entâo
. Em seguida, use
teste de comparação.)