Prove que se sumn=1^+infty un for absolutamente convergente, entâo sumn=1^+infty un^2 será convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que se a série sumn=1^+infty un converge absolutamente, então a série sumn=1^+infty un^2 também converge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série sum un é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, sum |un|, também converge. Isso é importante porque a convergência absoluta nos dá mais informações sobre a série original.

Passo 3

Sabemos que se sum |un| converge, então os termos |un| tendem a zero quando n tende ao infinito. Ou seja, limn to +infty |un| = 0. Isso nos diz que os termos da série estão ficando cada vez menores.

Passo 4

Agora, queremos analisar a série sum un^2. Para isso, podemos usar o critério da comparação, que nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra que já sabemos se comporta bem.

Passo 5

Como sum |un| converge, os termos |un| são limitados. Ou seja, existe um número M > 0 tal que |un| <= M para todo n. Isso nos dá uma forma de controlar os termos da nova série.

Passo 6

Observamos que |un^2| = |un|^2. Como |un| <= M, então |un|^2 <= M |un|. Portanto, cada termo da série sum un^2 é menor ou igual a M vezes o termo correspondente de sum |un|.

Passo 7

Pela comparação direta, já que sum |un| converge e sum |un^2| <= M sum |un|, concluímos que sum un^2 também converge. Isso segue do critério da comparação para séries convergentes.

Resposta

Portanto, se a série sumn=1^+infty un é absolutamente convergente, então a série sumn=1^+infty un^2 também converge.

Exercícios relacionados