Prove que se for absolutamente convergente, entâo será convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que se a série converge absolutamente, então a série também converge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, , também converge. Isso é importante porque a convergência absoluta nos dá mais informações sobre a série original.

Passo 3

Sabemos que se converge, então os termos tendem a zero quando tende ao infinito. Ou seja, . Isso nos diz que os termos da série estão ficando cada vez menores.

Passo 4

Agora, queremos analisar a série . Para isso, podemos usar o critério da comparação, que nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra que já sabemos se comporta bem.

Passo 5

Como converge, os termos são limitados. Ou seja, existe um número tal que para todo . Isso nos dá uma forma de controlar os termos da nova série.

Passo 6

Observamos que . Como , então . Portanto, cada termo da série é menor ou igual a vezes o termo correspondente de .

Passo 7

Pela comparação direta, já que converge e , concluímos que também converge. Isso segue do critério da comparação para séries convergentes.

Resposta

Portanto, se a série é absolutamente convergente, então a série também converge.

Exercícios relacionados

Se , prove que a serrie absolutamente convergente para todos os valores de .
Prove que se for absolutamente convergente e para todo , entâo será divergente.
Dada a série . (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. (b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Prove a parte (i) do teste da raiz (Teorema 12.8.5). (Sugestäo: como , seja um número tal que e seja . Mostre que existe um inteiro tal que se , entâo . Em seguida, use teste de comparação.)