Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
converge
diverge.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma sequência
tal que a série
converja, mas a série dos valores absolutos
diverja. Isso envolve conceitos de convergência condicional em séries.
Passo 2
Sabemos que séries alternadas podem ser exemplos de convergência condicional. Um caso clássico é a série alternada harmônica, que cumpre exatamente essas características.
Passo 3
Vamos definir a sequência
da seguinte forma:
Aqui, cada termo alterna o sinal positivo e negativo conforme
cresce.
Passo 4
Analisando a série
, aplicamos o teste da série alternada:
- Termos decrescentes em módulo:
diminui conforme aumenta. - Limite dos termos:
.
Como ambas as condições são satisfeitas, a série
converge.
Passo 5
Agora, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir.
Resposta
Um exemplo de sequência que satisfaz o enunciado é
.