Dê uma sequência (an)n in N que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo. sumn=1^infty an converge sumn=1^infty|an| diverge.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma sequência tal que a série converja, mas a série dos valores absolutos diverja. Isso envolve conceitos de convergência condicional em séries.

Passo 2

Sabemos que séries alternadas podem ser exemplos de convergência condicional. Um caso clássico é a série alternada harmônica, que cumpre exatamente essas características.

Passo 3

Vamos definir a sequência an = (-1)^n+1n da seguinte forma:
Aqui, cada termo alterna o sinal positivo e negativo conforme cresce.

Passo 4

Analisando a série , aplicamos o teste da série alternada:
  1. Termos decrescentes em módulo: diminui conforme aumenta.
  2. Limite dos termos: .
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

Passo 5

Agora, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir.

Resposta

Um exemplo de sequência que satisfaz o enunciado é .

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