Dada
, encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem a função
e precisa encontrar várias de suas derivadas: a primeira, segunda, terceira, quarta e a 87ª derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e o padrão que se repete nas derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Como
é um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
-
(derivada de é 1) -
(derivada de é )
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
. Temos que derivar
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
também usa a regra do produto: -
, -
, - Então,
-
Somando tudo:
Passo 4
Vamos para a terceira derivada
. Derivamos
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra do produto: -
, -
, - Então,
-
Somando tudo:
Passo 5
Agora, a quarta derivada
. Derivamos
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra do produto: -
, -
, - Então,
-
Somando tudo:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a 87ª derivada
. Para isso, vamos observar o padrão nas derivadas anteriores.
Observamos que:
Percebe-se que a derivada de ordem
terá a forma:
Para
:
Resposta
A 87ª derivada de
é:
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Derive
Derive:
Encontre a derivada de
.
Encontre a derivada de
.