Dada f(x) = x sen(x), encontre f'(x), f''(x), f'''(x), f^(iv)(x) e f^(87)(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem a função e precisa encontrar várias de suas derivadas: a primeira, segunda, terceira, quarta e a 87ª derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e o padrão que se repete nas derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Como é um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
  • (derivada de é 1)
  • (derivada de é )
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada . Temos que derivar .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de também usa a regra do produto:
    • ,
    • ,
    • Então,
Somando tudo:

Passo 4

Vamos para a terceira derivada . Derivamos .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do produto:
    • ,
    • ,
    • Então,
Somando tudo:

Passo 5

Agora, a quarta derivada . Derivamos .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do produto:
    • ,
    • ,
    • Então,
Somando tudo:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a 87ª derivada . Para isso, vamos observar o padrão nas derivadas anteriores.
Observamos que:
Percebe-se que a derivada de ordem terá a forma:
Para :

Resposta

A 87ª derivada de é:

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