Derive: f(x) = (x * sen(x)) / (cos(x) * (x^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de . Isso envolve cálculo, especificamente a derivada de uma função que é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de . Vamos usar a regra do quociente e algumas identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função para aplicar a regra do quociente. Se a gente tem uma função , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos achar . Como , usamos a regra do produto:
Isso porque a derivada de é 1 e a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Temos . Novamente, é a regra do produto:
A derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos os termos:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Podemos fatorar e :
Simplificando os termos:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Podemos deixar dessa forma ou simplificar mais, mas já temos a derivada pronta.

Resposta

A derivada de é:

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Encontre a derivada de f(x) = (x - 2 * x * raiz(x)) / raiz(x).
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Dada f(x) = x sen(x), encontre f'(x), f''(x), f'''(x), f^(iv)(x) e f^(87)(x).